Seja
onde
é uma curva que une os pontos
.
Verifique se o campo vetorial que está sendo integrado é um campo gradiente.
Verifique se o campo vetorial que está sendo integrado é um campo gradiente.
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se o campo vetorial
definido por
é um campo gradiente (isto é, se é conservativo). Vamos usar o teste dos diferenciais cruzados e, se for conservativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Em um domínio simplesmente conexo de
, um campo
de classe
é conservativo se e somente se
Aqui vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Portanto
.
Passo 4
Agora para as outras duas condições:
e
Todas as igualdades batem, logo
é conservativo.
Passo 5
Para encontrar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é «constante» em relação a
. Diferenciando em relação a
e igualando a
:
implica
, ou seja,
. Finalmente,
implica
e portanto
.
Passo 6
Concluímos que
é uma função potencial de
. Assim,
e o campo é de fato gradiente.
Resposta
O campo é conservativo (gradiente) com potencial