Seja I=integralgamma(6 x y^3+2 z^2) d x+9 x^2 y^2 d y+(4 x z+1) d z onde gamma é uma curva que une os pontos (1,0,2) e(-2,1,3).
Verifique se o campo vetorial que está sendo integrado é um campo gradiente.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o campo vetorial
F(x,y,z)=(P,Q,R) definido por
P=6xy^3+2z^2, Q=9x^2y^2, R=4xz+1
é um campo gradiente (isto é, se é conservativo). Vamos usar o teste dos diferenciais cruzados e, se for conservativo, encontrar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F.

Passo 2

Em um domínio simplesmente conexo de R^3, um campo (P,Q,R) de classe C^1 é conservativo se e somente se
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y
Aqui vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
partial Ppartial y=partialpartial y(6xy^3+2z^2)=18xy^2, partial Qpartial x=partialpartial x(9x^2y^2)=18xy^2
Portanto partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 4

Agora para as outras duas condições:
partial Ppartial z=partialpartial z(6xy^3+2z^2)=4z, partial Rpartial x=partialpartial x(4xz+1)=4z,
e
partial Qpartial z=partialpartial z(9x^2y^2)=0, partial Rpartial y=partialpartial y(4xz+1)=0
Todas as igualdades batem, logo F é conservativo.

Passo 5

Para encontrar a potencial phi, integramos P em relação a x:
phi(x,y,z)=integral(6xy^3+2z^2),dx=3x^2y^3+2xz^2+h(y,z),
onde h(y,z) é «constante» em relação a x. Diferenciando em relação a y e igualando a Q:
partialphipartial y=9x^2y^2+partial hpartial y=9x^2y^2
implica partial h/partial y=0, ou seja, h=h(z). Finalmente,
partialphipartial z=4xz+h'(z)=4xz+1
implica h'(z)=1 e portanto h(z)=z+C.

Passo 6

Concluímos que
phi(x,y,z)=3x^2y^3+2xz^2+z+C
é uma função potencial de F. Assim, F=nablaphi e o campo é de fato gradiente.

Resposta

O campo é conservativo (gradiente) com potencial
phi(x,y,z)=3x^2y^3+2xz^2+z+C

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