Seja
onde
é uma curva que une os pontos
.
Calcule a integral proposta.
Calcule a integral proposta.
Passo 1
A gente tem uma integral de linha de um campo vetorial F(x,y,z) = (P,Q,R) entre A=(1,0,2) e B=(-2,1,3). O conteúdo é campo conservativo e potencial escalar. Vamos verificar se F é conservativo (exato) e, em seguida, achar a função potencial Φ para calcular Φ(B)−Φ(A).
Passo 2
Para verificar que F é conservativo, com P=6xy³+2z², Q=9x²y² e R=4xz+1, comparamos as derivadas parciais:
,
e
. Como todas batem, F é conservativo num domínio simplesmente conectado.
Passo 3
Para encontrar a função potencial Φ, integramos
em relação a x e introduzimos uma função h(y,z):
Em seguida, impomos
:
Depois impomos
:
Podemos escolher C=0, então
Passo 4
Por fim, a integral vale
Calculando separadamente:
Logo a integral é
.
Resposta
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