Seja I=integralgamma(6 x y^3+2 z^2) d x+9 x^2 y^2 d y+(4 x z+1) d z onde gamma é uma curva que une os pontos (1,0,2) e(-2,1,3).
Calcule a integral proposta.

Passo 1

A gente tem uma integral de linha de um campo vetorial F(x,y,z) = (P,Q,R) entre A=(1,0,2) e B=(-2,1,3). O conteúdo é campo conservativo e potencial escalar. Vamos verificar se F é conservativo (exato) e, em seguida, achar a função potencial Φ para calcular Φ(B)−Φ(A).

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, com P=6xy³+2z², Q=9x²y² e R=4xz+1, comparamos as derivadas parciais: ∂P/∂y = 18xy² = ∂Q/∂x², ∂P/∂z = 4z = ∂R/∂x e ∂Q/∂z = 0 = ∂R/∂y. Como todas batem, F é conservativo num domínio simplesmente conectado.

Passo 3

Para encontrar a função potencial Φ, integramos ∂Φ/∂x = P em relação a x e introduzimos uma função h(y,z):
Φ(x,y,z) = integral (6xy^3 + 2z^2),dx = 3x^2y^3 + 2xz^2 + h(y,z)
Em seguida, impomos ∂Φ/∂y = Q:
9x^2y^2 + ∂h/∂y = 9x^2y^2 implies ∂h/∂y = 0 implies h(y,z)=g(z)
Depois impomos ∂Φ/∂z = R:
4xz + g'(z) = 4xz + 1 implies g'(z)=1 implies g(z)=z + C
Podemos escolher C=0, então
Φ(x,y,z)=3x^2y^3 + 2xz^2 + z

Passo 4

Por fim, a integral vale
Φ(B) - Φ(A) = Φ(-2,1,3) - Φ(1,0,2)
Calculando separadamente:
Φ(-2,1,3) = 3cdot(-2)^2cdot1^3 + 2cdot(-2)cdot3^2 + 3 = 12 -36 +3 = -21,
Φ(1,0,2) = 3cdot1^2cdot0^3 + 2cdot1cdot2^2 + 2 = 0 + 8 + 2 = 10
Logo a integral é -21 - 10 = -31.

Resposta

-31

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