Calcule a área da região que está dentro do círculo r=3 sen theta e fora da cardioide r=1+sen theta.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a área da região que está dentro do círculo r=3sintheta e fora da cardioide r=1+sintheta.
O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A = 12 integral (;rexterno^2 ;-; rinterno^2;) ,dtheta
Para aplicar, precisamos achar primeiro onde as duas curvas se cruzam e em quais intervalos cada uma fica “por fora”.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
3sintheta ;=; 1 + sintheta
que dá
2sintheta = 1 Longrightarrow sintheta = tfrac12 Longrightarrow theta = tfracpi6, ;tfrac5pi6
Logo, as curvas se cruzam em theta=pi/6 e theta=5pi/6.

Passo 3

Para theta entre pi/6 e 5pi/6 temos
3sintheta ;>=; 1 + sintheta,
ou seja, o círculo é a fronteira externa e a cardioide a interna nesse intervalo.
Assim a área desejada é
A = 12 integralpi/6^5pi/6 l[(3sintheta)^2 - (1+sintheta)^2r] ,dtheta

Passo 4

Simplificamos o integrando:
(3sintheta)^2 - (1+sintheta)^2 = 9sin^2theta - (1 + 2sintheta + sin^2theta) = 8sin^2theta - 2sintheta - 1

Passo 5

Calculamos a integral de
;8sin^2theta - 2sintheta - 1;:
usamos sin^2theta = tfrac12(1-cos2theta).
Um antiderivado é
integral(8sin^2theta - 2sintheta - 1),dtheta = 3theta ;-; 2sin2theta ;+; 2costheta

Passo 6

Avaliamo-lo entre os limites:
para theta=5pi/6 obtém-se 5pi/2,
para theta=pi/6 obtém-se pi/2.
A diferença é
5pi/2 - pi/2 = 2pi,
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A = 12 times 2pi = pi

Resposta

pi

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