Calcule a área da região que está dentro do círculo
e fora da cardioide
.
Passo 1
O enunciado nos pede calcular a área da região que está dentro do círculo
e fora da cardioide
.
O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
Para aplicar, precisamos achar primeiro onde as duas curvas se cruzam e em quais intervalos cada uma fica “por fora”.
Passo 2
Encontramos as interseções resolvendo
que dá
Logo, as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Para
entre
e
temos
ou seja, o círculo é a fronteira externa e a cardioide a interna nesse intervalo.
Assim a área desejada é
Assim a área desejada é
Passo 4
Simplificamos o integrando:
Passo 5
Calculamos a integral de
:
usamos .
Um antiderivado é
usamos
Um antiderivado é
Passo 6
Avaliamo-lo entre os limites:
para obtém-se
,
para obtém-se
.
A diferença é
para
para
A diferença é
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