Calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado:
; eixo
Passo 1
Então, a gente tem um problema de calcular a área da superfície que resulta ao girar a curva $ y = 4x^{3} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 3 $ em torno do eixo $ x $. Isso tudo está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente em superfícies de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que calcula a área dessa superfície quando a curva é girada em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície de revolução quando giramos uma curva $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $. A fórmula é:
Aqui, $ y $ é a função que está sendo girada, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada dessa função, e $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo de $ x $.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico. Nossa função é $ y = 4x^{3} $, e vamos girar essa curva de $ x = 0 $ até $ x = 3 $ em torno do eixo $ x $. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Ou seja:
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, nossa tarefa é resolver essa integral. Vamos simplificar:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição $ u = 1 + 144x^{4} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Substituindo na integral:
Voltando para $ x $:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A área da superfície de revolução é aproximadamente $ A \approx \frac{\pi}{108} \left( 11665^{3/2} - 1 \right) $ unidades de área.