Para a equação diferencial abaixo, ache um fator integrante e resolva a equação.
y^prime=e^2 x+y-1.
Resp: mu(x)=e^x, y=c e^x+1+e^2 x.

Passo 1

A equação diferencial dada é y' = e^2x + y - 1. É uma equação linear de 1ª ordem no formato y' + P(x)y = Q(x) e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos no formato padrão. Subtraindo y dos dois lados, fica y' - y = e^2x - 1. Daí identificamos P(x) = -1 e Q(x) = e^2x - 1.

Passo 3

Para equações lineares de 1ª ordem, o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx
Aqui
integral P(x),dx = integral (-1),dx = -x,
então
mu(x) = e^-x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=e^-x, obtemos
e^-xy' - e^-xy = e^-x(e^2x-1) = e^x - e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^-xy, pois
ddx(e^-xy) = e^-xy' - e^-xy

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral ddx(e^-xy),dx = integral (e^x - e^-x),dx
que resulta em
e^-xy = integral e^xdx - integral e^-xdx = e^x + e^-x + C
Por fim, isolamos y multiplicando por e^x:
y = e^2x + 1 + Ce^x

Resposta

Fator integrante: mu(x)=e^-x. Solução geral: y = Ce^x + 1 + e^2x.

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