Calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado:
; eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da superfície que a gente forma quando gira o arco da curva $ x = 2 \sqrt{3 - y} $ no intervalo de $ y = -1 $ até $ y = 3 $ em torno do eixo $ y $. Basicamente, vamos usar um pouco de cálculo para encontrar essa área usando integração e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
Nesse caso, $ x = 2 \sqrt{3 - y} $, e os limites de integração são $ a = -1 $ e $ b = 3 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{dx}{dy} $.
Passo 4
Substituindo a derivada na expressão dentro da raiz da fórmula da área:
Passo 5
Agora, colocamos $ x $ e a expressão que achamos na fórmula da área:
Passo 6
Vamos calcular a integral $ \int \sqrt{4 - y} , dy $. Fazendo a substituição $ u = 4 - y $, temos $ du = -dy $. Quando $ y = -1 $, $ u = 5 $ e quando $ y = 3 $, $ u = 1 $. A integral fica:
Passo 7
Calculando essa integral:
Passo 8
Finalmente, substituímos de volta na expressão da área:
Resposta
A área da superfície de revolução é $ \displaystyle \frac{8\pi}{3} \left(5 \sqrt{5} - 1\right) $.