Calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado:
x=2 raiz3-y,-1 <= y <= 3; eixo y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área da superfície que a gente forma quando gira o arco da curva $ x = 2 \sqrt{3 - y} $ no intervalo de $ y = -1 $ até $ y = 3 $ em torno do eixo $ y $. Basicamente, vamos usar um pouco de cálculo para encontrar essa área usando integração e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
y
Nesse caso, $ x = 2 \sqrt{3 - y} $, e os limites de integração são $ a = -1 $ e $ b = 3 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{dx}{dy} $.
x

Passo 4

Substituindo a derivada na expressão dentro da raiz da fórmula da área:
raiz1 + ( dxdy )^2 = raiz1 + ( -1raiz3 - y )^2 = raiz1 + 13 - y = raiz4 - y3 - y

Passo 5

Agora, colocamos $ x $ e a expressão que achamos na fórmula da área:
x

Passo 6

Vamos calcular a integral $ \int \sqrt{4 - y} , dy $. Fazendo a substituição $ u = 4 - y $, temos $ du = -dy $. Quando $ y = -1 $, $ u = 5 $ e quando $ y = 3 $, $ u = 1 $. A integral fica:
integral raiz4 - y , dy

Passo 7

Calculando essa integral:
integral1^5 raizu , du = integral1^5 u^1/2 , du = [ 23 u^3/2 ]1^5 = 23 (5^3/2 - 1^3/2) = 23 (5 raiz5 - 1)

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão da área:
A = 4pi cdot 23 (5 raiz5 - 1) = 8pi3 (5 raiz5 - 1)

Resposta

A área da superfície de revolução é $ \displaystyle \frac{8\pi}{3} \left(5 \sqrt{5} - 1\right) $.

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