A região delimitada pela parábola x=12 y^2+2 e pelas retas x=-2, y=3 e y=-3 gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido de revolução obtido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pela parábola $ x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $ e pelas retas $ x = -2 $, $ y = 3 $ e $ y = -3 $ em torno do eixo $ y $. Isso está relacionado ao cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando o método dos anéis (ou discos). Vamos precisar entender como aplicar integrais para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo rotacionada. Temos a parábola $ x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $, que abre para a direita, e a reta vertical $ x = -2 $. Além disso, as retas horizontais $ y = 3 $ e $ y = -3 $ limitam a altura da região. Ao rotacionar essa área em torno do eixo $ y $, formamos um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos anéis. A ideia é integrar a área da seção transversal perpendicular ao eixo de rotação ao longo do intervalo de $ y $. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
y áí
Aqui, $ R(y) $ é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva mais distante) e $ r(y) $ é o raio interno (a distância até a curva mais próxima).

Passo 4

Vamos identificar $ R(y) $ e $ r(y) $:
  • Raio externo $ R(y) $: É a distância da parábola $ x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $ até o eixo $ y $. Como a parábola está à direita do eixo, $ R(y) = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $.
  • Raio interno $ r(y) $: É a distância da reta $ x = -2 $ até o eixo $ y $. Como essa reta está à esquerda do eixo, a distância é $ r(y) = 2 $.
Os limites de integração são de $ y = -3 $ a $ y = 3 $.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para o volume:
V = pi integral-3^3 ( ( 12 y^2 + 2 )^2 - (2)^2 ) dy
Vamos simplificar essa expressão:
( 12 y^2 + 2 )^2 = 14 y^4 + 2 y^2 + 4
Substituindo na integral:
V = pi integral-3^3 ( 14 y^4 + 2 y^2 + 4 - 4 ) dy = pi integral-3^3 ( 14 y^4 + 2 y^2 ) dy
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo $ y $), podemos integrar de 0 a 3 e multiplicar por 2:
y

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral 14 y^4 dy = 120 y^5
integral 2 y^2 dy = 23 y^3
Então:
V = 2pi [ 120 y^5 + 23 y^3 ]0^3
Substituindo $ y = 3 $ e $ y = 0 $:
y = 3
y = 0
Portanto:
V = 2pi ( 120 times 243 + 23 times 27 ) = 2pi ( 24320 + 18 )

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{603}{10} \pi $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados