A região delimitada pela parábola
e pelas retas
e
gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido de revolução obtido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pela parábola $ x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $ e pelas retas $ x = -2 $, $ y = 3 $ e $ y = -3 $ em torno do eixo $ y $. Isso está relacionado ao cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando o método dos anéis (ou discos). Vamos precisar entender como aplicar integrais para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo rotacionada. Temos a parábola $ x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $, que abre para a direita, e a reta vertical $ x = -2 $. Além disso, as retas horizontais $ y = 3 $ e $ y = -3 $ limitam a altura da região. Ao rotacionar essa área em torno do eixo $ y $, formamos um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos anéis. A ideia é integrar a área da seção transversal perpendicular ao eixo de rotação ao longo do intervalo de $ y $. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
Aqui, $ R(y) $ é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva mais distante) e $ r(y) $ é o raio interno (a distância até a curva mais próxima).
Passo 4
Vamos identificar $ R(y) $ e $ r(y) $:
-
Raio externo $ R(y) $: É a distância da parábola $ x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $ até o eixo $ y $. Como a parábola está à direita do eixo, $ R(y) = \frac{1}{2} y^{2} + 2 $.
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Raio interno $ r(y) $: É a distância da reta $ x = -2 $ até o eixo $ y $. Como essa reta está à esquerda do eixo, a distância é $ r(y) = 2 $.
Os limites de integração são de $ y = -3 $ a $ y = 3 $.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para o volume:
Vamos simplificar essa expressão:
Substituindo na integral:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo $ y $), podemos integrar de 0 a 3 e multiplicar por 2:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Então:
Substituindo $ y = 3 $ e $ y = 0 $:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{603}{10} \pi $ unidades cúbicas.