- Calcular a área total e o volume de uma pirâmide triangular regular cuja base tem 18 cm de perímetro e cuja área total é igual a
da área lateral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área total e o volume de uma pirâmide triangular regular, e dá as seguintes informações:
- A base é um triângulo regular (equilátero) cujo perímetro vale
. - A área total da pirâmide é igual a
vezes a área lateral.
As perguntas que devemos responder são:
- Qual é a área total da pirâmide?
- Qual é o volume da pirâmide?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Perímetro da base:
. - Relação entre áreas:
.
Passo 2
Primeiro encontramos o lado
do triângulo equilátero base. Como o perímetro é a soma dos três lados,
Agora calculamos a área da base. A fórmula da área de um triângulo equilátero de lado
é
Explicando essa fórmula rapidamente: a altura do triângulo equilátero vale
; a área é
.
Substituindo
,
Passo 3
Usamos a relação dada entre áreas. Se chamarmos
a área lateral e
a área total, temos
Subtraindo
dos dois lados,
Portanto
E a área total é
(Verificação alternativa:
.)
Passo 4
Para encontrar o volume precisamos da altura
da pirâmide. Primeiro obtemos a altura inclinada das faces laterais, chamada de altura lateral ou apótema lateral
. A fórmula da área lateral de uma pirâmide de base poligonal é
onde
é o perímetro da base e
é o apótema lateral (slant height): a altura de cada face triangular medida desde o ponto médio de um lado da base até o vértice da pirâmide, perpendicular ao lado.
Isolando
,
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora relacionamos o apótema lateral
com a altura vertical
da pirâmide usando um triângulo retângulo. Considere o ponto
centro (baricentro) do triângulo base e o ponto médio
de um lado da base. A projeção do vértice da pirâmide sobre a base é
(pirâmide regular), então o segmento
é a distância horizontal do centro ao ponto médio do lado. No triângulo retângulo formado por
(vertical),
(horizontal) e
(hipotenusa), vale o teorema de Pitágoras:
Precisamos de
. Para o triângulo equilátero de lado
, o inradius (distância do centro ao lado) é
Derivação rápida: a altura do triângulo é
e o centro (baricentro/incentro) fica a um terço dessa altura a partir do lado, logo
.
Com
,
Passo 6
Agora aplicamos Pitágoras para obter a altura
. Sabemos
e
, então
Logo
Passo 7
Finalmente calculamos o volume. A fórmula do volume de uma pirâmide é
Substituindo
e
,