1. Calcular a área total e o volume de uma pirâmide triangular regular cuja base tem 18 cm de perímetro e cuja área total é igual a 3 / 2 da área lateral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área total e o volume de uma pirâmide triangular regular, e dá as seguintes informações:
  • A base é um triângulo regular (equilátero) cujo perímetro vale 18\\ \text{cm}.
  • A área total da pirâmide é igual a \tfrac{3}{2} vezes a área lateral.
As perguntas que devemos responder são:
  1. Qual é a área total da pirâmide?
  2. Qual é o volume da pirâmide?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Perímetro da base: P=18\\ \text{cm}.
  • Relação entre áreas: \text{Área total} = \tfrac{3}{2}\,\text{Área lateral}ÁÁ.

Passo 2

Primeiro encontramos o lado s do triângulo equilátero base. Como o perímetro é a soma dos três lados,
s=\frac{P}{3}=\frac{18}{3}=6\\ \text{cm}.
Agora calculamos a área da base. A fórmula da área de um triângulo equilátero de lado s é
\text{Área}_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^{2}.Á
Explicando essa fórmula rapidamente: a altura do triângulo equilátero vale \frac{\sqrt{3}}{2}s; a área é \frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\frac{1}{2}s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}s=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}.
Substituindo s=6,
\text{Área}_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36=9\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.Á

Passo 3

Usamos a relação dada entre áreas. Se chamarmos \text{A}_{L} a área lateral e \text{A}_{T} a área total, temos
\text{A}_{T}=\text{A}_{L}+\text{A}_{\text{base}}=\frac{3}{2}\,\text{A}_{L}.
Subtraindo \text{A}_{L} dos dois lados,
\text{A}_{\text{base}}=\frac{1}{2}\,\text{A}_{L}.
Portanto
\text{A}_{L}=2\,\text{A}_{\text{base}}=2\cdot 9\sqrt{3}=18\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.
E a área total é
\text{A}_{T}=\text{A}_{L}+\text{A}_{\text{base}}=18\sqrt{3}+9\sqrt{3}=27\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.
(Verificação alternativa: \text{A}_{T}=\tfrac{3}{2}\text{A}_{L}=\tfrac{3}{2}\cdot 18\sqrt{3}=27\sqrt{3}.)

Passo 4

Para encontrar o volume precisamos da altura h da pirâmide. Primeiro obtemos a altura inclinada das faces laterais, chamada de altura lateral ou apótema lateral l. A fórmula da área lateral de uma pirâmide de base poligonal é
\text{A}_{L}=\frac{P\cdot l}{2},
onde P é o perímetro da base e l é o apótema lateral (slant height): a altura de cada face triangular medida desde o ponto médio de um lado da base até o vértice da pirâmide, perpendicular ao lado.
Isolando l,
l=\frac{2\,\text{A}_{L}}{P}.
Substituindo \text{A}_{L}=18\sqrt{3} e P=18,
l=\frac{2\cdot 18\sqrt{3}}{18}=2\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora relacionamos o apótema lateral l com a altura vertical h da pirâmide usando um triângulo retângulo. Considere o ponto O centro (baricentro) do triângulo base e o ponto médio M de um lado da base. A projeção do vértice da pirâmide sobre a base é O (pirâmide regular), então o segmento OM é a distância horizontal do centro ao ponto médio do lado. No triângulo retângulo formado por h (vertical), OM (horizontal) e l (hipotenusa), vale o teorema de Pitágoras:
l^{2}=h^{2}+OM^{2}.
Precisamos de OM. Para o triângulo equilátero de lado s, o inradius (distância do centro ao lado) é
OM=\frac{\sqrt{3}}{6}s.
Derivação rápida: a altura do triângulo é \frac{\sqrt{3}}{2}s e o centro (baricentro/incentro) fica a um terço dessa altura a partir do lado, logo OM=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}s=\frac{\sqrt{3}}{6}s.
Com s=6,
OM=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 6=\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 6

Agora aplicamos Pitágoras para obter a altura h. Sabemos l=2\sqrt{3} e OM=\sqrt{3}, então
h^{2}=l^{2}-OM^{2}=(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4\cdot 3-3=12-3=9.
Logo
h=3\\ \text{cm}.

Passo 7

Finalmente calculamos o volume. A fórmula do volume de uma pirâmide é
V=\frac{1}{3}\,\text{Área}_{\text{base}}\cdot h.Á
Substituindo \text{Área}_{\text{base}}=9\sqrt{3}Á e h=3,
V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}\\ \text{cm}^{3}.

Resposta

\text{Área total}=27\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}Á
\text{Volume}=9\sqrt{3}\\ \text{cm}^{3}

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