1. Numa pirâmide hexagonal regular de 4 cm de altura, a aresta da base mede 2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}. Calcular:
    a) a apótema da base;
    b) o apótema da pirâmide
    c) a aresta lateral;
    d) a área da base;
    e) a área lateral;
    f) a área total.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular com base hexagonal e altura da pirâmide igual a 4\\ \mathrm{cm}. A aresta da base (lado do hexágono) mede 2\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}. Pede-se calcular, separadamente:
a) a apótema da base;
b) o apótema da pirâmide;
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total.
Informações que temos e que vão ser usadas:
  • lado do hexágono: s = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{cm};
  • altura da pirâmide (distância do vértice ao plano da base): h = 4\\ \mathrm{cm};
  • a pirâmide é regular, logo o pé da altura coincide com o centro do hexágono e as faces laterais são congruentes.

Passo 2

Entendendo e calculando a apótema da base (distância do centro do hexágono ao meio de um lado).
Explicação didática: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado s. A apótema do hexágono é a altura desses triângulos equiláteros (distância do centro até o meio do lado). A fórmula da altura h_{\triangle} de um triângulo equilátero de lado s é
h_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s.
Aqui s é o comprimento do lado do triângulo (ou do hexágono). Aplicando com s=2\sqrt{3}:
\text{apótema da base } a_b = \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}) = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.ó
Portanto a_b=3\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Explicando o que é o apótema da pirâmide e calculando-o.
O apótema da pirâmide (também chamado de geratriz ou altura inclinada da face) é a distância do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base, medida ao longo da face lateral — geometricamente, é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por:
  • um cateto igual à altura da pirâmide h;
  • o outro cateto igual à apótema da base a_b (distância do centro ao ponto médio do lado).
Usamos o Teorema de Pitágoras: se l é o apótema da pirâmide,
l^2 = h^2 + a_b^2.
Substituindo h=4 e a_b=3:
l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25,
logo
l = \sqrt{25} = 5.
Portanto o apótema da pirâmide é l=5\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calculando a aresta lateral (segmento do vértice até um vértice da base).
Explicação didática: a aresta lateral é a distância do vértice da pirâmide até um vértice do hexágono. Considere o triângulo retângulo formado pela altura h e pela distância do centro do hexágono até um vértice (essa última é o raio circunscrito do hexágono, ou circumrádio). Para um hexágono regular esse raio é igual ao lado s (porque cada triângulo central é equilátero), ou seja:
R = s = 2\sqrt{3}.
Se e é a aresta lateral, pelo Teorema de Pitágoras:
e^2 = h^2 + R^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 4\cdot 3 = 16 + 12 = 28.
Assim
e = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.
Portanto a aresta lateral mede 2\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calculando a área da base.
Explicação didática: a área A_b de um polígono regular é dada por
A_b = \frac{P\,a_b}{2},
onde P é o perímetro e a_b é a apótema. Para o hexágono, o perímetro é P=6s. Aqui s=2\sqrt{3}, então
P = 6\cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}.
Substituindo em A_b:
A_b = \frac{12\sqrt{3}\cdot 3}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}.
Portanto A_b = 18\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
Observação alternativa (mesma conta): a fórmula direta para área de hexágono regular é A_b = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2; aplicando dá o mesmo resultado.

Passo 6

Calculando a área lateral.
Explicação didática: a superfície lateral é formada por 6 triângulos isósceles congruentes (uma por lado da base). Cada triângulo lateral tem base s e altura igual ao apótema da pirâmide l. A área de um triângulo é \dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}. Então a área lateral total A_L é
A_L = 6\cdot \frac{s\cdot l}{2} = 3 s l.
Substituindo s=2\sqrt{3} e l=5:
A_L = 3\cdot (2\sqrt{3})\cdot 5 = 3\cdot 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3}.
Portanto A_L = 30\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 7

Calculando a área total e finalizando.
A área total A_T é a soma da área da base com a área lateral:
A_T = A_b + A_L = 18\sqrt{3} + 30\sqrt{3} = 48\sqrt{3}.
Portanto A_T = 48\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

a) 3\\ \mathrm{cm}
b) 5\\ \mathrm{cm}
c) 2\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}
d) 18\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2
e) 30\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2
f) 48\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2

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