- Numa pirâmide hexagonal regular de 4 cm de altura, a aresta da base mede
. Calcular:
a) a apótema da base;
b) o apótema da pirâmide
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total.
a) a apótema da base;
b) o apótema da pirâmide
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular com base hexagonal e altura da pirâmide igual a
. A aresta da base (lado do hexágono) mede
. Pede-se calcular, separadamente:
a) a apótema da base;
b) o apótema da pirâmide;
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total.
a) a apótema da base;
b) o apótema da pirâmide;
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total.
Informações que temos e que vão ser usadas:
- lado do hexágono:
; - altura da pirâmide (distância do vértice ao plano da base):
; - a pirâmide é regular, logo o pé da altura coincide com o centro do hexágono e as faces laterais são congruentes.
Passo 2
Entendendo e calculando a apótema da base (distância do centro do hexágono ao meio de um lado).
Explicação didática: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado
. A apótema do hexágono é a altura desses triângulos equiláteros (distância do centro até o meio do lado). A fórmula da altura
de um triângulo equilátero de lado
é
Aqui
é o comprimento do lado do triângulo (ou do hexágono). Aplicando com
:
Portanto
.
Passo 3
Explicando o que é o apótema da pirâmide e calculando-o.
O apótema da pirâmide (também chamado de geratriz ou altura inclinada da face) é a distância do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base, medida ao longo da face lateral — geometricamente, é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por:
- um cateto igual à altura da pirâmide
; - o outro cateto igual à apótema da base
(distância do centro ao ponto médio do lado).
Usamos o Teorema de Pitágoras: se
é o apótema da pirâmide,
Substituindo
e
:
logo
Portanto o apótema da pirâmide é
.
Passo 4
Calculando a aresta lateral (segmento do vértice até um vértice da base).
Explicação didática: a aresta lateral é a distância do vértice da pirâmide até um vértice do hexágono. Considere o triângulo retângulo formado pela altura
e pela distância do centro do hexágono até um vértice (essa última é o raio circunscrito do hexágono, ou circumrádio). Para um hexágono regular esse raio é igual ao lado
(porque cada triângulo central é equilátero), ou seja:
Se
é a aresta lateral, pelo Teorema de Pitágoras:
Assim
Portanto a aresta lateral mede
.
Passo 5
Calculando a área da base.
Explicação didática: a área
de um polígono regular é dada por
onde
é o perímetro e
é a apótema. Para o hexágono, o perímetro é
. Aqui
, então
Substituindo em
:
Portanto
.
Observação alternativa (mesma conta): a fórmula direta para área de hexágono regular é
; aplicando dá o mesmo resultado.
Passo 6
Calculando a área lateral.
Explicação didática: a superfície lateral é formada por 6 triângulos isósceles congruentes (uma por lado da base). Cada triângulo lateral tem base
e altura igual ao apótema da pirâmide
. A área de um triângulo é
. Então a área lateral total
é
Substituindo
e
:
Portanto
.
Passo 7
Calculando a área total e finalizando.
A área total
é a soma da área da base com a área lateral:
Portanto
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)