Calcular a área do triâgulo cujos vértices são: A(3,11,0), B(-9,-5,0) e C(6,-10,0).

Passo 1

O problema pede: calcular a área do triângulo cujos vértices são A(3,11,0), B(-9,-5,0) e C(6,-10,0).
Informações dadas:
  • Coordenadas dos vértices: A(3,11,0), B(-9,-5,0), C(6,-10,0).
  • Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Observação importante (que facilita muito): as três coordenadas têm z=0. Portanto os pontos estão no plano z=0 e podemos tratar o problema como um triângulo no plano 2D usando apenas as coordenadas (x,y):
  • A=(3,11), B=(-9,-5), C=(6,-10).
Escolhi resolver com a fórmula do polígono (fórmula da “shoelace” / determinante) porque:
  • É uma fórmula simples, que exige só soma, subtração e multiplicação (boa para prova sem calculadora).
  • É direta para coordenadas e evita passos extras.
    Vou explicar a fórmula e aplicar passo a passo.

Passo 3

Apresentação da fórmula (shoelace) para a área de um triângulo cujos vértices são (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3):
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|Á
Explicando o que cada coisa significa:
  • x_1,y_1 são as coordenadas do primeiro vértice (aqui A),
  • x_2,y_2 do segundo vértice (aqui B),
  • x_3,y_3 do terceiro vértice (aqui C).
    A expressão dentro do valor absoluto é essencialmente um determinante que mede a “área orientada” do paralelogramo formado por dois vetores do triângulo; o valor absoluto e o fator \tfrac{1}{2} transformam isso na área do triângulo.

Passo 4

Aplicando a fórmula com nossos pontos: atribuímos
(x_1,y_1)=(3,11),\quad (x_2,y_2)=(-9,-5),\quad (x_3,y_3)=(6,-10).
Calculemos cada diferença usada:
y_2-y_3 = -5 - (-10) = -5+10 = 5,
y_3-y_1 = -10 - 11 = -21,
y_1-y_2 = 11 - (-5) = 11+5 = 16.

Passo 5

Agora calculamos cada termo da soma da fórmula:
x_1(y_2-y_3)=3\cdot 5 = 15,
x_2(y_3-y_1) = -9\cdot (-21) = 189,
x_3(y_1-y_2) = 6\cdot 16 = 96.
Somando:
15 + 189 + 96 = 300.
Aplicando a fórmula da área:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|300\right| = \tfrac{1}{2}\cdot 300 = 150.Á

Passo 6

Verificação alternativa (curta, para fixar o conceito de vetores): usando vetores no espaço, a área do triângulo é \tfrac{1}{2} da magnitude do produto vetorial entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Calcule:
\overrightarrow{AB}=(-9-3,\,-5-11,\,0) = (-12,-16,0),
\overrightarrow{AC}=(6-3,\,-10-11,\,0) = (3,-21,0).
Produto vetorial:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0,0,(-12)(-21)-(-16)(3)) = (0,0,252-(-48))=(0,0,300).
Magnitude \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|=300, então a área é \tfrac{1}{2}\cdot 300 = 150, confirmando o resultado anterior.

Resposta

150

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