Se o sistema é ortogonal, quais são as coordenadas dos pontos simétricos de
em relação a cada plano coordenado? E em relação a cada eixo coordenado?
Passo 1
O enunciado dá um ponto
e pede duas coisas separadas:
- Quais são as coordenadas do ponto simétrico de
em relação a cada plano coordenado (ou seja, em relação aos planos , e )? - Quais são as coordenadas do ponto simétrico de
em relação a cada eixo coordenado (ou seja, em relação aos eixos , e )?
Informações relevantes fornecidas: o ponto original é
. Não há outros dados numéricos; a questão pede apenas as fórmulas das coordenadas dos pontos refletidos.
Passo 2
Conceito útil (passo a passo, sem pressa): o simétrico de um ponto
em relação a um plano é o ponto
tal que o plano é o plano mediador do segmento
. Em palavras: o plano contém o ponto médio de
e corta
perpendicularmente. Na prática vetorial/cartesiana isso vira regras simples sobre coordenadas:
- Se o plano é
(plano ), a coordenada perpendicular ao plano é a coordenada . Para que o ponto médio tenha -coordenada zero, devemos ter . Dessa equação obtemos . As coordenadas paralelas ao plano ( e ) permanecem iguais porque o plano não altera componentes tangenciais. Logo e .
Vou repetir esse raciocínio de forma geral: para refletir em relação a um plano coordenado, a coordenada perpendicular ao plano troca de sinal e as outras ficam iguais.
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior a cada plano coordenado:
- Plano
(equação ): a coordenada perpendicular é . Então o simétrico de é
- Plano
(equação ): a coordenada perpendicular é . Então
- Plano
(equação ): a coordenada perpendicular é . Então
Cada uma dessas fórmulas segue diretamente da condição de que o plano seja o ponto médio e o bissetor perpendicular do segmento que liga
e
.
Passo 4
Agora, reflexão em relação a um eixo. Intuição: um eixo é a interseção de dois planos coordenados; por exemplo, o eixo
é a interseção dos planos
e
. O ponto médio entre
e seu simétrico
deve estar sobre o eixo, então as coordenadas que são nulas no eixo devem ter média zero. Assim, para refletir em relação a um eixo devemos trocar o sinal das duas coordenadas que são perpendiculares a esse eixo, deixando a coordenada do próprio eixo igual.
Formalizando com o mesmo método de ponto-médio:
- Para o eixo
(pontos ): impomos e , o que dá e ; .
Passo 5
Aplicando a regra do passo anterior a cada eixo:
- Eixo
: refletindo em relação ao eixo trocamos os sinais de e , ficando
- Eixo
: refletindo em relação ao eixo trocamos os sinais de e , ficando
- Eixo
: refletindo em relação ao eixo trocamos os sinais de e , ficando
Passo 6
Comentário extra (útil para a prova): refletir em relação à origem (simetria central) é o mesmo que refletir em relação a todos os três planos coordenados ao mesmo tempo, ou seja, trocar o sinal de todas as coordenadas:
Essa observação pode ajudar a relacionar as simetrias e lembrar as fórmulas de forma rápida.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (pode pular na prova, só para treinar): se
então
e assim por diante, seguindo as regras acima (trocar sinal da coordenada perpendicular ao plano; trocar sinais das duas coordenadas perpendiculares ao eixo).
Resposta
Plano
:
Plano :
Plano :
Eixo :
Eixo :
Eixo :
Plano
Plano
Eixo
Eixo
Eixo