Se o sistema é ortogonal, quais são as coordenadas dos pontos simétricos de P=(x, y, z) em relação a cada plano coordenado? E em relação a cada eixo coordenado?

Passo 1

O enunciado dá um ponto P=(x,y,z) e pede duas coisas separadas:
  1. Quais são as coordenadas do ponto simétrico de P em relação a cada plano coordenado (ou seja, em relação aos planos xy, xz e yz)?
  2. Quais são as coordenadas do ponto simétrico de P em relação a cada eixo coordenado (ou seja, em relação aos eixos x, y e z)?
Informações relevantes fornecidas: o ponto original é P=(x,y,z). Não há outros dados numéricos; a questão pede apenas as fórmulas das coordenadas dos pontos refletidos.

Passo 2

Conceito útil (passo a passo, sem pressa): o simétrico de um ponto P em relação a um plano é o ponto P' tal que o plano é o plano mediador do segmento PP'. Em palavras: o plano contém o ponto médio de PP' e corta PP' perpendicularmente. Na prática vetorial/cartesiana isso vira regras simples sobre coordenadas:
  • Se o plano é x=0 (plano yz), a coordenada perpendicular ao plano é a coordenada x. Para que o ponto médio tenha x-coordenada zero, devemos ter \dfrac{x+x'}{2}=0. Dessa equação obtemos x'=-x. As coordenadas paralelas ao plano ( y e z) permanecem iguais porque o plano não altera componentes tangenciais. Logo y'=y e z'=z.
Vou repetir esse raciocínio de forma geral: para refletir em relação a um plano coordenado, a coordenada perpendicular ao plano troca de sinal e as outras ficam iguais.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior a cada plano coordenado:
  • Plano yz (equação x=0): a coordenada perpendicular é x. Então o simétrico de P é
P'_{yz}=(-x,y,z).
  • Plano xz (equação y=0): a coordenada perpendicular é y. Então
P'_{xz}=(x,-y,z).
  • Plano xy (equação z=0): a coordenada perpendicular é z. Então
P'_{xy}=(x,y,-z).
Cada uma dessas fórmulas segue diretamente da condição de que o plano seja o ponto médio e o bissetor perpendicular do segmento que liga P e P'.

Passo 4

Agora, reflexão em relação a um eixo. Intuição: um eixo é a interseção de dois planos coordenados; por exemplo, o eixo x é a interseção dos planos y=0 e z=0. O ponto médio entre P e seu simétrico P' deve estar sobre o eixo, então as coordenadas que são nulas no eixo devem ter média zero. Assim, para refletir em relação a um eixo devemos trocar o sinal das duas coordenadas que são perpendiculares a esse eixo, deixando a coordenada do próprio eixo igual.
Formalizando com o mesmo método de ponto-médio:
  • Para o eixo x (pontos (t,0,0)): impomos \dfrac{y+y'}{2}=0 e \dfrac{z+z'}{2}=0, o que dá y'=-y e z'=-z; x'=x.

Passo 5

Aplicando a regra do passo anterior a cada eixo:
  • Eixo x: refletindo em relação ao eixo x trocamos os sinais de y e z, ficando
P'_{x}=(x,-y,-z).
  • Eixo y: refletindo em relação ao eixo y trocamos os sinais de x e z, ficando
P'_{y}=(-x,y,-z).
  • Eixo z: refletindo em relação ao eixo z trocamos os sinais de x e y, ficando
P'_{z}=(-x,-y,z).

Passo 6

Comentário extra (útil para a prova): refletir em relação à origem (simetria central) é o mesmo que refletir em relação a todos os três planos coordenados ao mesmo tempo, ou seja, trocar o sinal de todas as coordenadas:
P'_{\text{origem}}=(-x,-y,-z).
Essa observação pode ajudar a relacionar as simetrias e lembrar as fórmulas de forma rápida.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (pode pular na prova, só para treinar): se P=(2,-3,5) então
P'_{xy}=(2,-3,-5),\quad P'_{yz}=(-2,-3,5),\quad P'_{x}=(2,3,-5),
e assim por diante, seguindo as regras acima (trocar sinal da coordenada perpendicular ao plano; trocar sinais das duas coordenadas perpendiculares ao eixo).

Resposta

Plano xy: (x,y,-z)
Plano xz: (x,-y,z)
Plano yz: (-x,y,z)
Eixo x: (x,-y,-z)
Eixo y: (-x,y,-z)
Eixo z: (-x,-y,z)

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