provar que o quadrilátero formado por esses quatro pontos é um paralelogramo;
calcular a área desse quadrilátero.
As informações relevantes que temos são somente as coordenadas acima. Não há informação extra (por exemplo, ordem dos vértices como polígono), então usaremos as coordenadas para testar propriedades típicas de paralelogramo e, se necessário, calcular a área de maneira consistente.
Passo 2
Conceito útil (explicado de forma simples): uma propriedade clássica dos paralelogramos é que as diagonais se cortam ao meio — isto é, elas têm o mesmo ponto médio. Vou usar essa propriedade para testar se os quatro pontos formam um paralelogramo.
Explicação didática curta do porquê: em vetores, se P,Q,R,S são vértices de um paralelogramo nessa ordem, então \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}. Somando vetores dá \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{PQ}. Com um pouco de manipulação (ou vendo a simetria do paralelogramo) obtém-se que os pontos médios das diagonais coincidem. Também vale o recíproco: se as diagonais têm o mesmo ponto médio então os lados opostos são paralelos, logo é paralelogramo. Em provas rápidas, comparar os pontos médios é a maneira mais prática.
Passo 3
Calcular o ponto médio da diagonal AC. A fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
Eles não coincidem (as coordenadas y são diferentes). Pelo resultado explicado no Passo 2, se as diagonais de um quadrilátero não têm o mesmo ponto médio então o quadrilátero não é um paralelogramo.
Portanto, concluímos que os quatro pontos dados NÃO formam um paralelogramo. (Isso contradiz a afirmação original “provar que é um paralelogramo”; a verificação direta com as coordenadas mostra que essa afirmação é falsa.)
Passo 6
Mesmo não sendo paralelogramo, podemos calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos — entendendo que queremos a área da região convexa delimitada pelas quatro pontas. Para calcular a área a técnica prática é ordenar os vértices na ordem ao redor do polígono (sentido horário ou anti-horário, sem que a poligonal se auto-interseccione) e aplicar a fórmula do polígono (regra de Gauss / fórmula do sapateiro, “shoelace”).
Vou explicar a ideia de forma simples: escolha uma ordem dos vértices que siga o contorno (por exemplo em sentido anti-horário). Uma maneira prática é tomar o centróide aproximado \big(\frac{x_1+\dots+x_4}{4},\frac{y_1+\dots+y_4}{4}\big) e ordenar os pontos pelo ângulo em relação a esse centróide. Aqui o centróide é
Calculando ângulos em relação a G (ou simplesmente observando as posições) obtemos uma ordem sem auto-intersecção: por exemplo B\to A\to C\to D\to B (sentido anti-horário).
Passo 7
Apresento a fórmula do “shoelace” para quatro vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4) tomados em ordem não-intersectante: