Se \vec{u}=\alpha \vec{v}, com \alpha \in \mathbb{R}^{*} então:
Obs: uma alternativa assinalada errada, anula uma alternativa certa
Escolha uma ou mais:
\square a. \vec{u} e \vec{v} possuem o MESMO COMPRIMENTO
\square b. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO
\square c. \vec{u} \in \vec{v} possuem SENTIDOS CONTRÁRIOS
\square d. Comprimento de \vec{u}=|\alpha| \cdot| | \vec{v}| |
\square e. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMA DIREÇÃO
\square f. \vec{u} e \vec{v} NÃO possuem MESMA DIREÇÃO
\square g. \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se \alpha<0
\square h. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO, se \alpha>0
\square i. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO, se \boldsymbol{\alpha}<\mathbf{0}
\square j. Comprimento de \vec{u}=\alpha \cdot\|\vec{v}\|
\square k. \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se \boldsymbol{\alpha}>\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá a relação \vec{u}=\alpha\vec{v} com \alpha\in\mathbb{R}^{*} (ou seja, \alpha é um real não nulo) e pede que eu marque todas as alternativas verdadeiras entre as listadas (atenção: marcar uma alternativa errada anula uma certa). Informações relevantes fornecidas:
\vec{u}=\alpha\vec{v}.
\alpha\in\mathbb{R}^{*} (logo \alpha\neq0).
Tem várias afirmações sobre comprimento, direção e sentido entre \vec{u} e \vec{v} que devo avaliar.

Passo 2

Primeiro eu explico o que significa \vec{u}=\alpha\vec{v} na prática. Multiplicar um vetor \vec{v} por um escalar \alpha produz outro vetor apontando na mesma reta que \vec{v} (ou na reta oposta), com tamanho escalado por |\alpha|. Em coordenadas: se \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n) então
\alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\alpha v_2,\dots,\alpha v_n).
Isso já dá uma ideia: \vec{u} é um múltiplo escalar de \vec{v}, então são colineares (estão sobre a mesma reta que passa pela origem), a menos do caso trivial do vetor nulo — e como o enunciado está adequadamente formulado e \alpha\neq0, a relação é bem definida. Vou assumir também, para avaliar enunciados sobre direção/sentido, que \vec{v}\neq\vec{0} (caso \vec{v}=\vec{0} tanto \vec{u}=\vec{0} e conceitos de direção/sentido não se aplicam).

Passo 3

Agora, comprimento (norma) de um vetor: a norma eu escrevo como \|\vec{w}\| e, em coordenadas, \|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+\cdots+w_n^2}. Vou provar a fórmula importante usada na alternativa (d):
\|\vec{u}\|=\|\alpha\vec{v}\|.
Substituindo coordenadas,
\|\alpha\vec{v}\|=\sqrt{(\alpha v_1)^2+(\alpha v_2)^2+\cdots+(\alpha v_n)^2} =\sqrt{\alpha^2\,(v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2)}.
Como \sqrt{\alpha^2}=|\alpha|, obtemos
\|\alpha\vec{v}\|=|\alpha|\,\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}=|\alpha|\,\|\vec{v}\|.
Conclusão: a igualdade \|\vec{u}\|=|\alpha|\,\|\vec{v}\| é sempre verdadeira para qualquer \alpha\in\mathbb{R}. Assim a alternativa (d) é correta.

Passo 4

Explico com cuidado os termos “direção” e “sentido”, porque as alternativas misturam esses conceitos:
  • Direção: a reta (ou orientação de reta) ao longo da qual o vetor aponta. Dois vetores colineares têm a mesma direção (são paralelos e sobre a mesma reta através da origem).
  • Sentido: indica se os vetores apontam no mesmo sentido ao longo dessa reta ou no sentido oposto. Se um vetor é um múltiplo positivo do outro ( \alpha>0), apontam no mesmo sentido. Se o múltiplo é negativo ( \alpha<0), apontam em sentidos opostos.
    Como \vec{u}=\alpha\vec{v} com \alpha\neq0, os vetores são colineares, logo têm a mesma direção (ou seja, pertencem à mesma reta através da origem). Portanto a alternativa (e) é correta.

Passo 5

Mostro agora com mais clareza os casos \alpha>0 e \alpha<0:
  • Se \alpha>0, então \vec{u}=\alpha\vec{v} é o mesmo vetor \vec{v} esticado ou comprimido, mas sem inverter o sentido. Assim \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo sentido. Isso confirma a alternativa (h).
  • Se \alpha<0, então \vec{u} é \vec{v} multiplicado por um número negativo, o que inverte a orientação: \vec{u} e \vec{v} têm sentido contrário. Isso confirma a alternativa (g).
    Essas conclusões decorrem diretamente da definição de multiplicação por escalar e da distinção entre |\alpha| (que afeta o comprimento) e o sinal de \alpha (que afeta o sentido).

Passo 6

Agora vou examinar as alternativas que são falsas, dando contraexemplos simples quando necessário:
  • (a) “mesmo comprimento”: falso em geral. Contraexemplo numérico: tome \vec{v}=(1,0) e \alpha=2. Então \vec{u}=(2,0) e \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=1. Não têm mesmo comprimento. Só teriam mesmo comprimento se |\alpha|=1.
  • (b) “mesmo sentido” sem condição: falso em geral, só vale se \alpha>0. Se \alpha=-1 então o sentido é invertido.
  • (c) “possuem sentidos contrários” sem condição: falso em geral, só vale se \alpha<0.
  • (f) “não possuem mesma direção”: falso. Como \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v}, eles são colineares e têm a mesma direção (a menos do caso \vec{v}=\vec{0}, que estamos desconsiderando por razões já explicadas).
  • (i) "mesmo sentido se \alpha<0": falso — é o contrário; se \alpha<0 o sentido é contrário.
  • (j) "Comprimento de \vec{u}=\alpha\cdot\|\vec{v}\|": falso em geral, porque o comprimento não pode ser negativo; a relação correta é com |\alpha|. Se \alpha<0 a expressão \alpha\cdot\|\vec{v}\| seria negativa, o que é impossível para um comprimento.
  • (k) "sentido contrário se \alpha>0": falso — novamente é o contrário.

Passo 7

Resumo técnico das alternativas corretas com justificativa curta e direta:
  • (d) Correta, pela propriedade da norma: \|\alpha\vec{v}\|=|\alpha|\,\|\vec{v}\|.
  • (e) Correta, porque \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v} então são colineares e têm a mesma direção.
  • (g) Correta, pois se \alpha<0 o sinal negativo inverte o sentido: \vec{u} e \vec{v} têm sentidos contrários.
  • (h) Correta, pois se \alpha>0 o produto escalar positivo preserva o sentido: \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo sentido.

Resposta

d
e
g
h

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