Se
, com
então:
Obs: uma alternativa assinalada errada, anula uma alternativa certa
Escolha uma ou mais:
a.
e
possuem o MESMO COMPRIMENTO
b.
e
possuem MESMO SENTIDO
c.
possuem SENTIDOS CONTRÁRIOS
d. Comprimento de
e.
e
possuem MESMA DIREÇÃO
f.
e
NÃO possuem MESMA DIREÇÃO
g.
e
possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se
h.
e
possuem MESMO SENTIDO, se
i.
e
possuem MESMO SENTIDO, se
j. Comprimento de
k.
e
possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se
Passo 1
O enunciado dá a relação
com
(ou seja,
é um real não nulo) e pede que eu marque todas as alternativas verdadeiras entre as listadas (atenção: marcar uma alternativa errada anula uma certa). Informações relevantes fornecidas:
.
(logo
).
Tem várias afirmações sobre comprimento, direção e sentido entre e
que devo avaliar.
Tem várias afirmações sobre comprimento, direção e sentido entre
Passo 2
Primeiro eu explico o que significa
na prática. Multiplicar um vetor
por um escalar
produz outro vetor apontando na mesma reta que
(ou na reta oposta), com tamanho escalado por
. Em coordenadas: se
então
Isso já dá uma ideia:
é um múltiplo escalar de
, então são colineares (estão sobre a mesma reta que passa pela origem), a menos do caso trivial do vetor nulo — e como o enunciado está adequadamente formulado e
, a relação é bem definida. Vou assumir também, para avaliar enunciados sobre direção/sentido, que
(caso
tanto
e conceitos de direção/sentido não se aplicam).
Passo 3
Agora, comprimento (norma) de um vetor: a norma eu escrevo como
e, em coordenadas,
. Vou provar a fórmula importante usada na alternativa (d):
Substituindo coordenadas,
Como
, obtemos
Conclusão: a igualdade
é sempre verdadeira para qualquer
. Assim a alternativa (d) é correta.
Passo 4
Explico com cuidado os termos “direção” e “sentido”, porque as alternativas misturam esses conceitos:
- Direção: a reta (ou orientação de reta) ao longo da qual o vetor aponta. Dois vetores colineares têm a mesma direção (são paralelos e sobre a mesma reta através da origem).
- Sentido: indica se os vetores apontam no mesmo sentido ao longo dessa reta ou no sentido oposto. Se um vetor é um múltiplo positivo do outro (
), apontam no mesmo sentido. Se o múltiplo é negativo ( ), apontam em sentidos opostos.
Comocom , os vetores são colineares, logo têm a mesma direção (ou seja, pertencem à mesma reta através da origem). Portanto a alternativa (e) é correta.
Passo 5
Mostro agora com mais clareza os casos
e
:
- Se
, então é o mesmo vetor esticado ou comprimido, mas sem inverter o sentido. Assim e têm o mesmo sentido. Isso confirma a alternativa (h). - Se
, então é multiplicado por um número negativo, o que inverte a orientação: e têm sentido contrário. Isso confirma a alternativa (g).
Essas conclusões decorrem diretamente da definição de multiplicação por escalar e da distinção entre(que afeta o comprimento) e o sinal de (que afeta o sentido).
Passo 6
Agora vou examinar as alternativas que são falsas, dando contraexemplos simples quando necessário:
- (a) “mesmo comprimento”: falso em geral. Contraexemplo numérico: tome
e . Então e , . Não têm mesmo comprimento. Só teriam mesmo comprimento se . - (b) “mesmo sentido” sem condição: falso em geral, só vale se
. Se então o sentido é invertido. - (c) “possuem sentidos contrários” sem condição: falso em geral, só vale se
. - (f) “não possuem mesma direção”: falso. Como
é múltiplo escalar de , eles são colineares e têm a mesma direção (a menos do caso , que estamos desconsiderando por razões já explicadas). - (i) "mesmo sentido se
": falso — é o contrário; se o sentido é contrário. - (j) "Comprimento de
": falso em geral, porque o comprimento não pode ser negativo; a relação correta é com . Se a expressão seria negativa, o que é impossível para um comprimento. - (k) "sentido contrário se
": falso — novamente é o contrário.
Passo 7
Resumo técnico das alternativas corretas com justificativa curta e direta:
- (d) Correta, pela propriedade da norma:
. - (e) Correta, porque
é múltiplo escalar de então são colineares e têm a mesma direção. - (g) Correta, pois se
o sinal negativo inverte o sentido: e têm sentidos contrários. - (h) Correta, pois se
o produto escalar positivo preserva o sentido: e têm o mesmo sentido.
Resposta
d
e
g
h
e
g
h