Calcular a área do triângulo com vértices A=(1,1), B=(4,5) e C=(5,3). Provar que o triângulo tem um ângulo reto. Achar D tal que forma um retângulo com os outros três pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo formado pelos pontos $ A = (1,1) $, $ B = (4,5) $ e $ C = (5,3) $. Além disso, vamos provar que esse triângulo tem um ângulo reto e encontrar um ponto $ D $ que, junto com os outros três pontos, forma um retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como fórmula da área do triângulo, cálculo de inclinações de retas e propriedades de retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo. Uma maneira prática de fazer isso é usando a fórmula da área baseada nas coordenadas dos vértices:
Área = 12 | (xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)) | Á
Onde $ A = (x_A, y_A) $, $ B = (x_B, y_B) $ e $ C = (x_C, y_C) $.

Passo 3

Vamos substituir os valores dos pontos na fórmula:
Área = 12 | 1(5 - 3) + 4(3 - 1) + 5(1 - 5) | Á
Calculando cada termo:
1(5 - 3) = 1 times 2 = 2
4(3 - 1) = 4 times 2 = 8
5(1 - 5) = 5 times (-4) = -20

Passo 4

Somando os resultados:
2 + 8 - 20 = -10
Pegamos o valor absoluto e multiplicamos por 12:
Área = 12 times | -10 | = 12 times 10 = 5 Á

Passo 5

Agora, vamos provar que o triângulo tem um ângulo reto. Para isso, vamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) das retas que formam os lados do triângulo e verificar se duas delas são perpendiculares. Retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for -1.
Primeiro, calculamos os coeficientes angulares das retas $ AB $, $ BC $ e $ AC $:
AB
BC
AC

Passo 6

Agora, verificamos os produtos dos coeficientes angulares:
mAB times mBC = 43 times (-2) = -83 neq -1
mAB times mAC = 43 times 12 = 23 neq -1
mBC times mAC = -2 times 12 = -1
O produto $ m_{BC} \times m_{AC} = -1 $, então as retas $ BC $ e $ AC $ são perpendiculares. Portanto, o triângulo $ ABC $ tem um ângulo reto no vértice $ C $.

Passo 7

Por fim, vamos encontrar o ponto $ D $ de forma que, junto com $ A $, $ B $ e $ C $, forma-se um retângulo. Sabemos que em um retângulo, os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, e todos os ângulos são retos. Como já temos um ângulo reto em $ C $, podemos usar isso para encontrar $ D $.
Vamos usar a propriedade de que a soma vetorial dos vértices em um retângulo é igual a zero:
D
Então:
A
Substituindo as coordenadas:
B

Resposta

A área do triângulo é $ 5 $ unidades quadradas. O triângulo tem um ângulo reto no vértice $ C $ e o ponto $ D $ que forma um retângulo com os outros três pontos é $ D = (2, -1) $.

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