Calcular a área do triângulo com vértices
e
. Provar que o triângulo tem um ângulo reto. Achar
tal que forma um retângulo com os outros três pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo formado pelos pontos $ A = (1,1) $, $ B = (4,5) $ e $ C = (5,3) $. Além disso, vamos provar que esse triângulo tem um ângulo reto e encontrar um ponto $ D $ que, junto com os outros três pontos, forma um retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como fórmula da área do triângulo, cálculo de inclinações de retas e propriedades de retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do triângulo. Uma maneira prática de fazer isso é usando a fórmula da área baseada nas coordenadas dos vértices:
Onde $ A = (x_A, y_A) $, $ B = (x_B, y_B) $ e $ C = (x_C, y_C) $.
Passo 3
Vamos substituir os valores dos pontos na fórmula:
Calculando cada termo:
Passo 4
Somando os resultados:
Pegamos o valor absoluto e multiplicamos por
:
Passo 5
Agora, vamos provar que o triângulo tem um ângulo reto. Para isso, vamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) das retas que formam os lados do triângulo e verificar se duas delas são perpendiculares. Retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for
.
Primeiro, calculamos os coeficientes angulares das retas $ AB $, $ BC $ e $ AC $:
Passo 6
Agora, verificamos os produtos dos coeficientes angulares:
O produto $ m_{BC} \times m_{AC} = -1 $, então as retas $ BC $ e $ AC $ são perpendiculares. Portanto, o triângulo $ ABC $ tem um ângulo reto no vértice $ C $.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar o ponto $ D $ de forma que, junto com $ A $, $ B $ e $ C $, forma-se um retângulo. Sabemos que em um retângulo, os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, e todos os ângulos são retos. Como já temos um ângulo reto em $ C $, podemos usar isso para encontrar $ D $.
Vamos usar a propriedade de que a soma vetorial dos vértices em um retângulo é igual a zero:
Então:
Substituindo as coordenadas:
Resposta
A área do triângulo é $ 5 $ unidades quadradas. O triângulo tem um ângulo reto no vértice $ C $ e o ponto $ D $ que forma um retângulo com os outros três pontos é $ D = (2, -1) $.