Esboçar a função
. Achar os máximos, os mínimos e os zeros da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função $ f(x) = \left| \frac{1}{2} + \sin x \right| $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $. Além disso, precisamos encontrar os valores máximos, mínimos e os pontos onde a função é igual a zero (os “zeros”). Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas, valores absolutos e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = \left| \frac{1}{2} + \sin x \right| $. A função seno, $ \sin x $, oscila entre -1 e 1. Ao somar $ \frac{1}{2} $ a $ \sin x $, o resultado oscila entre $ -\frac{1}{2} $ e $ \frac{3}{2} $. O valor absoluto garante que todos os valores de $ f(x) $ sejam positivos ou zero.
Passo 3
Vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Isso acontece quando:
Passo 4
Agora, vamos achar os valores de $ x $ no intervalo $ [0, 2\pi] $ onde $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Sabemos que o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes. Portanto:
Esses são os pontos onde a função toca o eixo $ x $, ou seja, $ f(x) = 0 $.
Passo 5
Vamos agora encontrar os máximos e mínimos da função. O valor máximo ocorre onde $ \frac{1}{2} + \sin x $ é maior. Sabemos que $ \sin x $ atinge seu valor máximo de 1 quando $ x = \frac{\pi}{2} $:
Esse é o valor máximo da função.
Passo 6
O valor mínimo positivo ocorre quando $ \sin x $ é mínimo, ou seja, $ \sin x = -1 $ quando $ x = \frac{3\pi}{2} $:
Portanto, o menor valor positivo da função é $ \frac{1}{2} $.
Passo 7
Vamos resumir:
- Zeros: $ x = \frac{7\pi}{6} $ e $ x = \frac{11\pi}{6} $
- Máximo: $ \frac{3}{2} $ em $ x = \frac{\pi}{2} $
- Mínimo: $ \frac{1}{2} $ em $ x = \frac{3\pi}{2} $
Agora, com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Resposta
A função $ f(x) = \left| \frac{1}{2} + \sin x \right| $ tem:
- Zeros em $ x = \frac{7\pi}{6} $ e $ x = \frac{11\pi}{6} $
- Máximo de $ \frac{3}{2} $ em $ x = \frac{\pi}{2} $
- Mínimo de $ \frac{1}{2} $ em $ x = \frac{3\pi}{2} $
Com esses pontos, o gráfico da função pode ser esboçado no intervalo $ [0, 2\pi] $.