Dar uma equação paramétrica para a reta r que passa por A=(0,1,1) e B= (2,2,3). Determinar a posição relativa entre r e o plano pi: x-z=7. Calcular o ângulo e a distância entre r e pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para a gente fazer três coisas:
  1. Encontrar a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos $ A = (0,1,1) $ e $ B = (2,2,3) $.
  2. Determinar a posição relativa dessa reta em relação ao plano $ \pi: x - z = 7 $.
  3. Calcular o ângulo e a distância entre a reta e o plano.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas, ângulo entre reta e plano e distância entre reta e plano. Vamos passo a passo para não ficar enrolado!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta $ r $ que passa pelos pontos $ A $ e $ B $.
Como fazer isso?
  • A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por: r onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto na reta e $ (a, b, c) $ é o vetor diretor da reta.
Passo a passo:
  1. Encontrar o vetor diretor: Subtraímos as coordenadas dos pontos $ B $ e $ A $: A
  2. Escolher um ponto na reta: Vamos usar $ A = (0,1,1) $.
  3. Escrever as equações paramétricas: B ou simplesmente: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct

Passo 3

Agora, vamos determinar a posição relativa entre a reta $ r $ e o plano $ \pi: x - z = 7 $.
Como fazer isso?
  • Precisamos verificar se a reta está paralela ao plano, intersecta o plano ou está contida no plano.
  • Para isso, vamos analisar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Passo a passo:
  1. Encontrar o vetor normal do plano $ \pi $: O plano $ x - z = 7 $ tem a equação na forma $ ax + by + cz + d = 0 $, onde $ \vec{n} = (a, b, c) $. r
  2. Verificar o produto escalar entre o vetor diretor da reta $ \vec{d} = (2,1,2) $ e o vetor normal do plano $ \vec{n} = (1,0,-1) $: pi: x - z = 7
  3. Interpretação:
    • Se o produto escalar for zero, significa que o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal do plano.
    • Isso implica que a reta é paralela ao plano.
Portanto, a reta $ r $ não intersecta o plano $ \pi $ e está paralela a ele.

Passo 4

Vamos calcular o ângulo entre a reta $ r $ e o plano $ \pi $.
Como fazer isso?
  • A relação entre o ângulo da reta com o plano está ligada ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
  • A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre a reta e o plano é: r onde $ \alpha $ é o ângulo entre o vetor diretor e o vetor normal.
Passo a passo:
  1. Como o vetor diretor está perpendicular ao vetor normal (produto escalar zero), o ângulo $ \alpha = 90^\circ $.
  2. Aplicando na fórmula: pi
Interpretação:
  • Um ângulo de $ 0^\circ $ significa que a reta está paralela ao plano, confirmando o que vimos no passo anterior.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre a reta $ r $ e o plano $ \pi $.
Como fazer isso?
  • Como a reta está paralela ao plano, a distância será constante e podemos calcular a distância de qualquer ponto da reta até o plano.
Passo a passo:
  1. Escolher um ponto na reta. Vamos usar $ A = (0,1,1) $.
  2. Usar a fórmula da distância de um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ ao plano $ ax + by + cz + d = 0 $: r
  3. Identificar os coeficientes do plano $ \pi: x - z = 7 $, reescrevendo como $ x - z -7 = 0 $: pi
  4. Substituir os valores na fórmula: A = (0,1,1)

Resposta

  • Equação paramétrica da reta $ r $: r
  • Posição relativa: A reta $ r $ está paralela ao plano $ \pi: x - z = 7 $.
  • Ângulo entre a reta e o plano: $ 0^\circ $.
  • Distância entre a reta e o plano: $ 4\sqrt{2} $ unidades.

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