Calcular os autovalores e todos os autoespaços, das seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0\end{array}\right) sobre \mathbb{R}.
calcular todos os autovalores \lambda (valores próprios) de A;
para cada autovalor, encontrar o autoespaço correspondente (o conjunto de autovetores não-nulos, isto é, o núcleo de A-\lambda I, usualmente dado por uma base/geradores).
Lista das informações relevantes dadas:
a matriz A é 3\times3;
estamos trabalhando sobre o corpo real \mathbb{R};
precisamos tanto dos autovalores quanto dos autoespaços (bases que geram cada autoespaço).]
Passo 2
Definição rápida (útil para a prova): um autovalor \lambda de A satisfaz
\begin{cases} x+2z=0,\\[4pt] 0\cdot y=0\quad(\text{nenhuma restrição em }y),\\[4pt] 2x+z=0. \end{cases}çã
Da primeira obtemos x=-2z\]. Substituindo na terceira:
\[2(-2z)+z=-4z+z=-3z=0 \Rightarrow z=0.\]
Com \(z=0 vem x=0. A variável y é livre (nenhuma equação a restringe). Portanto os vetores do autoespaço são v=(0,t,0)^T.
Assim
E_{-1}=\operatorname{span}\{(0,1,0)^T\}.]
Passo 6
Resumo das dimensões e observações importantes para a prova:
Os autovalores encontrados são \lambda=2,-2,-1, todos distintos (cada um aparece uma vez no polinômio característico), então a multiplicidade algébrica de cada um é 1.
As dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas) também são 1 para cada autovalor, pois cada autoespaço é gerado por um único vetor não-nulo.
Como há três autovalores distintos em \mathbb{R} (isto é, uma base de três autovetores linearmente independentes), a matriz A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Passo 7
Verificação rápida (só para ganhar confiança): multiplicar A por cada gerador e confirmar Av=\lambda v.