e pede para eu determinar todos os autovalores e todos os autoespaços "sobre \mathbb{Q}".
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A matriz A tem entradas em \mathbb{Q} (todas inteiras, portanto racionais).
Preciso decidir quais escalares \lambda\in\mathbb{Q} satisfazem Av=\lambda v para algum vetor não-nulo v\in\mathbb{Q}^3, e para cada tal \lambda descrever o conjunto de todos os v (o autoespaço sobre \mathbb{Q}).
Nada mais é dado; a resolução começa calculando o polinômio característico e testando raízes racionais.]
Passo 2
O que é preciso saber (breve e didático):
Definição: um número \lambda é autovalor de A sobre um corpo F (aqui F=\mathbb{Q}) se existe v\in F^3, v\neq 0, tal que
Av=\lambda v.
O conjunto de todos esses vetores v (mais o vetor zero) é o autoespaço correspondente \,E_\lambda=\{v\in F^3:Av=\lambda v\}.
Critério prático: existe vetor não-nulo com Av=\lambda v se, e só se, a matriz A-\lambda I for singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
A função \lambda\mapsto \det(A-\lambda I) é o polinômio característico; suas raízes (no corpo considerado ou numa extensão) são exatamente os autovalores.
Passo 3
Calcular o polinômio característico passo a passo:
As raízes desse polinômio são os autovalores (em alguma extensão de \mathbb{Q}).]
Passo 4
Testar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais:
O Teorema das Raízes Racionais diz: se uma fração irreduzível \tfrac{p}{q} (com p,q\in\mathbb{Z}, q>0) é raiz de um polinômio monico com coeficientes inteiros, então p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder. Aqui o polinômio é monico, então possíveis raízes racionais são divisores inteiros do termo independente 7, ou seja
\pm 1,\\ \pm 7.
Testo cada candidato substituindo em \chi_A(\lambda)=\lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7:
\lambda=-7: -343-539-161+7\neq0.
Nenhuma dessas opções anula o polinômio. Como o polinômio é cúbico, se tivesse fator linear sobre \mathbb{Q} teria alguma raiz racional entre esses candidatos; não tendo, concluímos que \chi_A(\lambda) não possui fator linear em \mathbb{Q}[\lambda], portanto é irreduzível sobre \mathbb{Q}.
Passo 5
Consequências imediatas sobre autovalores e autoespaços sobre \mathbb{Q}:
Não existe \lambda\in\mathbb{Q} tal que \chi_A(\lambda)=0. Logo não há autovalores em \mathbb{Q}.
Pelo critério Av=\lambda v\iff (A-\lambda I)v=0, se \lambda\in\mathbb{Q} então \det(A-\lambda I)\neq 0, portanto A-\lambda I é invertível sobre \mathbb{Q} e a única solução em \mathbb{Q}^3 é v=0. Assim, para todo \lambda\in\mathbb{Q}, o autoespaço sobre \mathbb{Q} associado a \lambda é trivial:
E_\lambda(\mathbb{Q})=\{0\}.
Outra observação útil: o polinômio característico é o polinômio minimal de A sobre \mathbb{Q} (porque é irreduzível e de grau 3), logo a matriz A é minimalmente de grau 3 sobre \mathbb{Q} — isto reforça que não existem autovalores em \mathbb{Q}.
Passo 6
Breve comentário para entendimento (opcional, mas útil na prova):
Embora não haja autovalores em \mathbb{Q}, A tem três autovalores reais (raízes reais de \chi_A) quando se trabalha sobre \mathbb{R} ou sobre uma extensão de \mathbb{Q} que contenha essas raízes; cada um desses autovalores gera um autoespaço unidimensional sobre a extensão que contém o autovalor. Mas restrito a \mathbb{Q} não há vetores próprios não nulos.
Resposta
Não há autovalores em \mathbb{Q}. O polinômio característico é \chi_A(\lambda)=\lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7, que é irreduzível sobre \mathbb{Q}. Consequentemente, para todo \lambda\in\mathbb{Q} o autoespaço sobre \mathbb{Q} é E_\lambda(\mathbb{Q})=\{0\}.