Calcular:
b) integral0^1 e^2 x cos (e^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1 e^2xcosl(e^2xr),dx
O conteúdo principal aqui é usar o método de substituição, pois vemos que a derivada de e^2x aparece multiplicando a função composta.

Passo 2

Note que
ddxl(e^2xr)=2e^2x,
então faz sentido escolher uma substituição que transforme e^2x,dx em du.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
u = e^2x, du = 2e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = du2
Quando x=0 temos u= e^0=1 e quando x=1 temos u=e^2.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^1 e^2xcosl(e^2xr),dx = integral1^e^2 cos(u),du2 = 12 integral1^e^2 cos(u),du
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar cos(u).

Passo 5

Como
integral cos(u),du = sin(u),
temos
12 integral1^e^2 cos(u),du = 12 l[sin(u)r]1^e^2 = sinl(e^2r)-sin(1)2

Resposta

sinl(e^2r)-sin(1)2

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