(2,5 Pontos) Calcule os limites, caso existam (caso não exista o limite, prove a sua nāo existência).
(1 Ponto) lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z)=x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2
quando (x,y,z)to(0,0,0).
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis usando o Teorema do Confronto (sanduíche) e uma desigualdade do tipo AM–GM para controlar o numerador.

Passo 2

Como x^2,y^2,z^2>=0, aplicamos AM–GM em três termos:
raiz[3]x^2y^2z^2<=x^2+y^2+z^23,
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x^2y^2z^2<=l(x^2+y^2+z^23r)^3 =(x^2+y^2+z^2)^327
Assim, para (x,y,z)neq(0,0,0),
l|x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2r| <=(x^2+y^2+z^2)^327,(x^2+y^2+z^2) =(x^2+y^2+z^2)^227

Passo 3

Defina r^2=x^2+y^2+z^2. Então a desigualdade vira
l|f(x,y,z)r|<=r^427
Quando (x,y,z)to(0,0,0), temos rto0 e portanto tfracr^427to0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
0<=l|f(x,y,z)r|<=r^427er^427to0,
segue que f(x,y,z)to0 quando (x,y,z)to(0,0,0).

Resposta

0

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