Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de a e b que fazem com que os pontos A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7) estejam na mesma linha, ou seja, sejam colineares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa três pontos serem colineares. Três pontos são colineares se eles estão alinhados em uma única reta. Em termos de vetores, isso quer dizer que os vetores que representam as direções entre esses pontos são proporcionais, ou seja, um é um múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Vamos definir os vetores que ligam os pontos:
  • Vetor AB: Vai de A até B.
    AB = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) = (1 - 3, 5 - 1, 1 - (-2)) = (-2, 4, 3)
  • Vetor AC: Vai de A até C.
    AC = (Cx - Ax, Cy - Ay, Cz - Az) = (a - 3, b - 1, 7 - (-2)) = (a - 3, b - 1, 9)

Passo 4

Como os pontos são colineares, os vetores AB e AC devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar k tal que:
AB = k cdot AC
Isso nos dá três equações, uma para cada componente do vetor:
-2 = k (a - 3) 4 = k (b - 1) 3 = k cdot 9

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar k, a e b.
Primeiro, da terceira equação:
3 = 9k k = 39 k = 13
Agora, substituímos k nas outras duas equações:
Para a primeira equação:
-2 = 13 (a - 3) -6 = a - 3 a = -3
Para a segunda equação:
4 = 13 (b - 1) 12 = b - 1 b = 13

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são a = -3 e b = 13.

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