Calcular
onde
(1)
(1)
Passo 1
O enunciado dá as permutações
e
e pede para calcular
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A permutação
é o ciclo , ou seja , , e fixa e . - A permutação
é o transposição , ou seja , e fixa .
O objetivo é calcular a conjunção.
Passo 2
Como encontrar
. Regra prática: o inverso de um ciclo
é o mesmo ciclo escrito ao contrário:
. Isso acontece porque inverter um ciclo simplesmente inverte o sentido da permutação. Aplicando a regra a
obtemos
Verificação por ação: como
então
; como
então
; como
então
. Isso coincide com
.
Passo 3
Entender o que é conjugação de permutações. Por definição, para qualquer elemento
do conjunto,
. Há também uma propriedade prática muito usada com ciclos: para uma transposição
vale
ou seja, a conjugação apenas relabela os elementos do ciclo aplicando
a cada entrada.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso com
:
Já calculamos
. Agora
(pois
) e
(pois
fixa
). Portanto
É costume escrever uma transposição trocando a ordem das entradas sem alterar o significado, então
.
Passo 5
Verificação elementar (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): calcular
para cada
.
-
: , , → . -
: , , → . -
: , , → . -
: , , → . -
: fica fixo em todas → .
Isso confirma que apenase são trocados, ou seja a permutação é .