Calcular a^{-1} b a onde
(1) a=(1,3,5), b=(1,2)

Passo 1

O enunciado dá as permutações a=(1\\\ 3\\\ 5) e b=(1\\\ 2) e pede para calcular a^{-1} b a.
Informações relevantes:
  • A permutação a é o ciclo (1\\\ 3\\\ 5), ou seja a(1)=3, a(3)=5, a(5)=1 e fixa 2 e 4.
  • A permutação b é o transposição (1\\\ 2), ou seja b(1)=2, b(2)=1 e fixa 3,4,5.
    O objetivo é calcular a conjunção a^{-1} b a.

Passo 2

Como encontrar a^{-1}. Regra prática: o inverso de um ciclo (i_1\\ i_2\\ \dots\\ i_k) é o mesmo ciclo escrito ao contrário: (i_1\\ i_k\\ \dots\\ i_2). Isso acontece porque inverter um ciclo simplesmente inverte o sentido da permutação. Aplicando a regra a a=(1\\\ 3\\\ 5) obtemos
a^{-1}=(1\\\ 5\\\ 3).
Verificação por ação: como a(1)=3 então a^{-1}(3)=1; como a(3)=5 então a^{-1}(5)=3; como a(5)=1 então a^{-1}(1)=5. Isso coincide com (1\\\ 5\\\ 3).

Passo 3

Entender o que é conjugação de permutações. Por definição, para qualquer elemento x do conjunto, (a^{-1} b a)(x)=a^{-1}\bigl(b(a(x))\bigr). Há também uma propriedade prática muito usada com ciclos: para uma transposição (i\\ j) vale
a^{-1}\,(i\\ j)\,a = \bigl(a^{-1}(i)\\ a^{-1}(j)\bigr),
ou seja, a conjugação apenas relabela os elementos do ciclo aplicando a^{-1} a cada entrada.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso com b=(1\\\ 2):
a^{-1} b a = a^{-1}\,(1\\\ 2)\,a = \bigl(a^{-1}(1)\\ a^{-1}(2)\bigr).
Já calculamos a^{-1}. Agora a^{-1}(1)=5 (pois a(5)=1) e a^{-1}(2)=2 (pois a fixa 2). Portanto
a^{-1} b a = (5\\\ 2).
É costume escrever uma transposição trocando a ordem das entradas sem alterar o significado, então (5\\\ 2)=(2\\\ 5).

Passo 5

Verificação elementar (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): calcular (a^{-1} b a)(x) para cada x\in\{1,2,3,4,5\}.
  • x=1: a(1)=3, b(3)=3, a^{-1}(3)=1 1\mapsto1.
  • x=2: a(2)=2, b(2)=1, a^{-1}(1)=5 2\mapsto5.
  • x=5: a(5)=1, b(1)=2, a^{-1}(2)=2 5\mapsto2.
  • x=3: a(3)=5, b(5)=5, a^{-1}(5)=3 3\mapsto3.
  • x=4: fica fixo em todas → 4\mapsto4.
    Isso confirma que apenas 2 e 5 são trocados, ou seja a permutação é (2\\\ 5).

Resposta

(2\\\ 5)

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