Exprimir como o produto de ciclos disjuntos:
(b) (1,2)(1,2,3)(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a permutação composta
(1,2)\,(1,2,3)\,(1,2)
e pede para expressá‑la como produto de ciclos disjuntos. Informação útil: aparecem apenas os símbolos 1, 2 e 3 nas permutações fornecidas.

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar o que significam os ciclos e como compor permutações (rápida revisão didática).
  • O ciclo (a,b,c) significa a aplicação que envia a\mapsto b, b\mapsto c e c\mapsto a. Qualquer elemento não mencionado fica fixo.
  • A transposição (1,2) troca 1 com 2 e fixa 3.
  • Convenção de composição: na expressão \sigma\:\tau\:\rho aplica‑se primeiro \rho, depois \tau, por fim \sigma. Em outras palavras, o fator mais à direita age primeiro.
  • Observação útil: uma transposição é sua própria inversa, isto é (1,2)^{-1}=(1,2). Por isso (1,2)\,(1,2,3)\,(1,2) é uma conjugação de (1,2,3) por (1,2), o que equivale a relabelar os elementos conforme (1,2).
Agora vamos calcular explicitamente a imagem de cada elemento 1,2,3 pela composição.

Passo 3

Calcular a imagem de 1.
Aplicando primeiro o fator mais à direita (1,2): 1 \mapsto 2.
Depois aplicar (1,2,3): 2 \mapsto 3.
Por fim aplicar o fator mais à esquerda (1,2): 3 \mapsto 3 (pois (1,2) fixa 3).
Resumo em notação:
1 \xrightarrow{(1,2)} 2 \xrightarrow{(1,2,3)} 3 \xrightarrow{(1,2)} 3.
Portanto a imagem final de 1 é 3: 1 \mapsto 3.

Passo 4

Calcular a imagem de 2.
Primeiro (1,2) (direita): 2 \mapsto 1.
Depois (1,2,3): 1 \mapsto 2.
Depois (1,2) (esquerda): 2 \mapsto 1.
Em cadeia:
2 \xrightarrow{(1,2)} 1 \xrightarrow{(1,2,3)} 2 \xrightarrow{(1,2)} 1.
Logo 2 \mapsto 1.

Passo 5

Calcular a imagem de 3.
Primeiro (1,2) (direita): 3 \mapsto 3 (fica fixo).
Depois (1,2,3): 3 \mapsto 1.
Depois (1,2) (esquerda): 1 \mapsto 2.
Em cadeia:
3 \xrightarrow{(1,2)} 3 \xrightarrow{(1,2,3)} 1 \xrightarrow{(1,2)} 2.
Portanto 3 \mapsto 2.

Passo 6

Com as imagens encontradas temos a permutação descrita por
1\mapsto3,\qquad 3\mapsto2,\qquad 2\mapsto1.
Isto é exatamente o ciclo de comprimento três (1,3,2). Como (1,3,2) já é um ciclo disjunto único (os demais elementos — se houver — seriam fixos), essa é a forma em ciclos disjuntos.
Nota intuitiva: visto que (1,2) é sua própria inversa, a composição é uma conjugação de (1,2,3) por (1,2), que relabela 1\leftrightarrow2 em (1,2,3), produzindo (1,3,2). Também se observa que (1,3,2)=(1,2,3)^{-1}.

Resposta

(1,3,2)

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