Calcular a^{-1} b a onde
(2) a=(5,7,9), b=(1,2)

Passo 1

O enunciado pede calcular a^{-1} b a onde foram dadas as permutações
a=(5,7,9) e b=(1,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • a é o ciclo de comprimento 3 que envia 5\mapsto7, 7\mapsto9, 9\mapsto5 e fixa todos os outros elementos.
  • b é a transposição que troca 1 e 2 e fixa os demais elementos.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): produto de permutações e conjugação.
  • Ao escrevemos um produto de permutações pq usamos a convenção de composição: pq significa "aplica primeiro q, depois p". Logo
(a^{-1} b a)(x)=a^{-1}\bigl(b\bigl(a(x)\bigr)\bigr).
  • Uma fórmula útil para conjugar uma transposição é: para qualquer permutação a,
a^{-1}\bigl(i\\ j\bigr)a=\bigl(a^{-1}(i)\\ a^{-1}(j)\bigr).
Explicação rápida dessa fórmula: se y=a^{-1}(i) então a(y)=i; aplicando a^{-1} b a em y obtemos
(a^{-1} b a)(y)=a^{-1}\bigl(b(i)\bigr)=a^{-1}(j),
portanto y vai para a^{-1}(j). O raciocínio análogo mostra que a^{-1}(j) vai para a^{-1}(i). Assim a conjugação transforma a transposição (i\\ j) na transposição que troca as imagens inversas a^{-1}(i) e a^{-1}(j).

Passo 3

Calcular a^{-1}. Para o ciclo (5,7,9) a inversa é o mesmo ciclo na ordem reversa:
a^{-1}=(5,9,7).
Verificação intuitiva: a envia 5\mapsto7, então a^{-1} deve enviar 7\mapsto5, etc.

Passo 4

Encontrar a^{-1}(1) e a^{-1}(2).
Como 1 e 2 não aparecem no ciclo que define a, a permutação a (e portanto a^{-1}) fixa esses pontos. Logo
a^{-1}(1)=1,\qquad a^{-1}(2)=2.

Passo 5

Aplicar a fórmula de conjugação da Passo 2 à nossa transposição b=(1,2):
a^{-1} b a = \bigl(a^{-1}(1)\\ a^{-1}(2)\bigr).
Substituindo os valores do Passo 4 obtemos
a^{-1} b a = (1,2).
Portanto a conjugação por a não altera a transposição b, porque a fixa 1 e 2.

Passo 6

Resumo e checagem rápida: como a não move 1 nem 2, a operação a^{-1} b a simplesmente reproduz b. Isso é consistente com a interpretação da conjugação como “renomear” os pontos segundo a.

Resposta

(1,2)

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