Calcular
onde
(2)
(2)
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde foram dadas as permutações
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é o ciclo de comprimento 3 que envia , , e fixa todos os outros elementos. -
é a transposição que troca e e fixa os demais elementos.
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): produto de permutações e conjugação.
- Ao escrevemos um produto de permutações
usamos a convenção de composição: significa "aplica primeiro , depois ". Logo
- Uma fórmula útil para conjugar uma transposição é: para qualquer permutação
,
Explicação rápida dessa fórmula: se
então
; aplicando
em
obtemos
portanto
vai para
. O raciocínio análogo mostra que
vai para
. Assim a conjugação transforma a transposição
na transposição que troca as imagens inversas
e
.
Passo 3
Calcular
. Para o ciclo
a inversa é o mesmo ciclo na ordem reversa:
Verificação intuitiva:
envia
, então
deve enviar
, etc.
Passo 4
Encontrar
e
.
Como e
não aparecem no ciclo que define
, a permutação
(e portanto
) fixa esses pontos. Logo
Como
Passo 5
Aplicar a fórmula de conjugação da Passo 2 à nossa transposição
:
Substituindo os valores do Passo 4 obtemos
Portanto a conjugação por
não altera a transposição
, porque
fixa
e
.
Passo 6
Resumo e checagem rápida: como
não move
nem
, a operação
simplesmente reproduz
. Isso é consistente com a interpretação da conjugação como “renomear” os pontos segundo
.