- (a) Qual é a ordem de um n-ciclo?
(b) Qual é a ordem do produto de ciclos disjuntos de comprimentos
?
(b) Qual é a ordem do produto de ciclos disjuntos de comprimentos
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Dado um
-ciclo, determinar a sua ordem. - (b) Dado o produto de ciclos disjuntos de comprimentos
, determinar a ordem desse produto.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Um
-ciclo é um ciclo que permuta exatamente elementos numa única órbita. - Os ciclos do item (b) são disjuntos (ou seja, atuam em conjuntos de elementos sem interseção).
- A ordem de um elemento (aqui: de uma permutação) é o menor inteiro positivo
tal que a permutação elevada a é a identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos fixar bem o que significa “ordem” de uma permutação porque isso é essencial para a prova.
- Definição (ordem): a ordem de uma permutação
é o menor inteiro positivo tal que , sendo a permutação identidade (que deixa todos os elementos fixos).
Explicando devagar:significa aplicar vezes seguidas. Se depois de aplicações tudo volta ao lugar original, então . A ordem é o menor com essa propriedade.
Passo 3
Agora tratamos (a): ordem de um
-ciclo.
- Escrevemos um
-ciclo genérico como . Isso significa que envia , , , , . - O que acontece quando aplicamos
repetidas vezes? Após aplicações, vai para , onde o índice é entendido módulo . Em notação, para ,
Passo 4
Mostramos que
e que nenhum expoente positivo menor que
produz a identidade.
- Como a contagem dos índices é módulo
, para temos para todo . Logo para todo , isto é,
- Agora, suponha que exista
com tal que . Então, em particular, . Mas , logo . Isso é impossível porque os são todos distintos dentro do ciclo. Portanto não existe com tal que . - Conclusão: o menor
com é . Logo a ordem de um -ciclo é .
Passo 5
Resumo didático do (a): um
-ciclo tem ordem
porque ele faz uma “rotacionada” de
posições; só depois de
rotações todos os elementos retornam à posição inicial, e nenhuma potência menor realiza isso.
Passo 6
Agora tratamos (b): ordem do produto de ciclos disjuntos.
- Escrevemos a permutação como
, onde cada é um ciclo de comprimento e os ciclos são disjuntos (atuam em suportes sem interseção). - Propriedade importante (disjuntos comutam): se dois ciclos são disjuntos então eles comutam, isto é,
para . Isso facilita o cálculo de potências de .
Passo 7
Vamos analisar
. Usando que ciclos disjuntos comutam, temos
Portanto
se, e somente se, cada
simultaneamente. Pela parte (a),
tem ordem
, logo
se, e somente se,
divide
.
Passo 8
Da observação anterior,
acontece exatamente quando
é múltiplo de todos os
, isto é, quando
é um múltiplo comum de
.
- O menor
que é múltiplo comum de todos os é, por definição, o mínimo múltiplo comum, . - Portanto a ordem de
é
Passo 9
Exemplos rápidos para fixar:
- Um 4-ciclo
tem ordem . - O produto disjunto
tem ordem . Verificação prática: elevando ao quadrado, ao cubo, etc., só em todas as peças retornam simultaneamente à identidade.
Resposta
(a)
(b)
(b)