1. (a) Qual é a ordem de um n-ciclo?
    (b) Qual é a ordem do produto de ciclos disjuntos de comprimentos m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Dado um n-ciclo, determinar a sua ordem.
  • (b) Dado o produto de ciclos disjuntos de comprimentos m_{1},m_{2},\ldots,m_{k}, determinar a ordem desse produto.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Um n-ciclo é um ciclo que permuta exatamente n elementos numa única órbita.
  • Os ciclos do item (b) são disjuntos (ou seja, atuam em conjuntos de elementos sem interseção).
  • A ordem de um elemento (aqui: de uma permutação) é o menor inteiro positivo t tal que a permutação elevada a t é a identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos fixar bem o que significa “ordem” de uma permutação porque isso é essencial para a prova.
  • Definição (ordem): a ordem de uma permutação \sigma é o menor inteiro positivo t tal que \sigma^{t}=\mathrm{id}, sendo \mathrm{id} a permutação identidade (que deixa todos os elementos fixos).
    Explicando devagar: \sigma^{t} significa aplicar \sigma t vezes seguidas. Se depois de t aplicações tudo volta ao lugar original, então \sigma^{t}=\mathrm{id}. A ordem é o menor t>0 com essa propriedade.

Passo 3

Agora tratamos (a): ordem de um n-ciclo.
  • Escrevemos um n-ciclo genérico como \sigma=(a_{1}\\ a_{2}\\ \dots\\ a_{n}). Isso significa que \sigma envia a_{1}\mapsto a_{2}, a_{2}\mapsto a_{3}, \dots, a_{n-1}\mapsto a_{n}, a_{n}\mapsto a_{1}.
  • O que acontece quando aplicamos \sigma repetidas vezes? Após r aplicações, a_{i} vai para a_{i+r}, onde o índice é entendido módulo n. Em notação, para r\in\mathbb{Z}_{\ge0},
\sigma^{r}(a_{i}) = a_{i+r\\ (\mathrm{mod}\\ n)}.

Passo 4

Mostramos que \sigma^{n}=\mathrm{id} e que nenhum expoente positivo menor que n produz a identidade.
  • Como a contagem dos índices é módulo n, para r=n temos i+r\equiv i\pmod{n} para todo i. Logo \sigma^{n}(a_{i})=a_{i} para todo i, isto é,
\sigma^{n}=\mathrm{id}.
  • Agora, suponha que exista r com 0<r<n tal que \sigma^{r}=\mathrm{id}. Então, em particular, \sigma^{r}(a_{1})=a_{1}. Mas \sigma^{r}(a_{1})=a_{1+r}, logo a_{1+r}=a_{1}. Isso é impossível porque os a_{1},\dots,a_{n} são todos distintos dentro do ciclo. Portanto não existe r com 0<r<n tal que \sigma^{r}=\mathrm{id}.
  • Conclusão: o menor t>0 com \sigma^{t}=\mathrm{id} é t=n. Logo a ordem de um n-ciclo é n.

Passo 5

Resumo didático do (a): um n-ciclo tem ordem n porque ele faz uma “rotacionada” de n posições; só depois de n rotações todos os elementos retornam à posição inicial, e nenhuma potência menor realiza isso.

Passo 6

Agora tratamos (b): ordem do produto de ciclos disjuntos.
  • Escrevemos a permutação como \tau=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{k}, onde cada \gamma_{i} é um ciclo de comprimento m_{i} e os ciclos são disjuntos (atuam em suportes sem interseção).
  • Propriedade importante (disjuntos comutam): se dois ciclos são disjuntos então eles comutam, isto é, \gamma_{i}\gamma_{j}=\gamma_{j}\gamma_{i} para i\neq j. Isso facilita o cálculo de potências de \tau.

Passo 7

Vamos analisar \tau^{t}. Usando que ciclos disjuntos comutam, temos
\tau^{t}=(\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{k})^{t}=\gamma_{1}^{t}\gamma_{2}^{t}\cdots\gamma_{k}^{t}.
Portanto \tau^{t}=\mathrm{id} se, e somente se, cada \gamma_{i}^{t}=\mathrm{id} simultaneamente. Pela parte (a), \gamma_{i} tem ordem m_{i}, logo \gamma_{i}^{t}=\mathrm{id} se, e somente se, m_{i} divide t.

Passo 8

Da observação anterior, \tau^{t}=\mathrm{id} acontece exatamente quando t é múltiplo de todos os m_{i}, isto é, quando t é um múltiplo comum de m_{1},m_{2},\dots,m_{k}.
  • O menor t>0 que é múltiplo comum de todos os m_{i} é, por definição, o mínimo múltiplo comum, \mathrm{lcm}(m_{1},\dots,m_{k}).
  • Portanto a ordem de \tau é
\operatorname{ord}(\tau)=\mathrm{lcm}(m_{1},m_{2},\dots,m_{k}).

Passo 9

Exemplos rápidos para fixar:
  • Um 4-ciclo (1\\\ 2\\\ 3\\\ 4) tem ordem \;4.
  • O produto disjunto (1\\\ 2\\\ 3)(4\\\ 5) tem ordem \mathrm{lcm}(3,2)=6. Verificação prática: elevando ao quadrado, ao cubo, etc., só em \tau^{6} todas as peças retornam simultaneamente à identidade.

Resposta

(a) \;n
(b) \;\mathrm{lcm}(m_{1},m_{2},\dots,m_{k})

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