Calcular integralC(2 z-raizx^2+y^2) d s, onde C é parametrizada por x=t cos t, y=t sen t, z=t ; t in[0,2 pi].

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede: calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=2z-raizx^2+y^2 ao longo da curva C parametrizada por x=tcos t,;y=tsen t,;z=t para tin[0,2pi]. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar e vamos precisar parametrizar a curva, encontrar ds e expressar o integrando em função de t.

Passo 2

Observamos que raizx^2+y^2=raiz(tcos t)^2+(tsen t)^2=t, já que cos^2t+sen^2t=1. Assim o integrando fica 2z-raizx^2+y^2=2t-t=t.

Passo 3

Para achar ds, calculamos o vetor derivada r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)). Temos
x'(t)=cos t -tsen t,
y'(t)=sen t +tcos t,
z'(t)=1

Passo 4

Logo, o quadrado da velocidade é
| r'(t)|^2=(cos t -tsen t)^2+(sen t +tcos t)^2+1^2=1+t^2+1=t^2+2
Então
ds=| r'(t)|,dt=raizt^2+2,dt

Passo 5

Substituindo no integral de linha, obtemos
integralC(2z-raizx^2+y^2),ds=integral0^2pitraizt^2+2,dt

Passo 6

Para resolver integral0^2pitraizt^2+2,dt, fazemos a substituição u=t^2+2, logo du=2t,dt ou t,dt=du/2. Então
integral traizt^2+2,dt=12integral u^1/2,du=u^3/23+C=(t^2+2)^3/23+C

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 2pi, ficamos com
(t^2+2)^3/23|0^2pi=(4pi^2+2)^3/2-(0^2+2)^3/23=(4pi^2+2)^3/2-2^3/23

Resposta

(4pi^2+2)^3/2-2raiz23

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