Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
2^n5^n+2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = 2^n5^n+2
de modo a determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o seu limite. O conteúdo principal aqui é reconhecimento de sequência geométrica e uso do fato de que uma geométrica com razão em módulo menor que 1 tende a zero.

Passo 2

Reescrevemos an de forma a evidenciar a razão geométrica. Note que
5^n+2 = 5^n cdot 5^2 = 25cdot 5^n,
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an = 2^n25cdot 5^n = 125,2^n5^n = 125l(25r)^n

Passo 3

Reconhecemos que l(25r)^n é uma sequência geométrica de razão
r = 25,
e como lvert rrvert = tfrac25<1, ela converge para zero.

Passo 4

Multiplicando por tfrac125 (constante diferente de zero) não altera o fato de tender a zero. Portanto
limntoinftyan = 125cdot 0 = 0

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty2^n5^n+2 = 0

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