Calcular a integral:
integral 7 x+4(x^2+2 x+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 7 x+4(x^2+2 x+1)(x-1)^2 , d x
Esse assunto é integração por frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a função em frações simples. Explico cada passo bonitinho.

Passo 2

Precisamos observar que x^2+2x+1 é igual a (x+1)^2. Então nosso integrando fica
7x+4(x+1)^2 (x-1)^2
A ideia é escrever isso como
7x+4(x+1)^2 (x-1)^2 = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx-1 + D(x-1)^2

Passo 3

Multiplico ambos os lados pelo denominador completo (x+1)^2 (x-1)^2. Aí fica
7x+4 = A(x+1)(x-1)^2 + B(x-1)^2 + C(x-1)(x+1)^2 + D(x+1)^2
Agora a gente acha A, B, C e D.

Passo 4

Avalio em x=-1. O lado esquerdo vira 7(-1)+4=-3. No lado direito só o termo com B sobrevive:
B(-1-1)^2 = 4B
Então 4B=-3, logo B=-tfrac34.

Passo 5

Avalio em x=1. O lado esquerdo é 7(1)+4=11. No lado direito só o termo com D sobrevive:
D(1+1)^2 = 4D
Assim 4D=11, logo D=tfrac114.

Passo 6

Para achar A e C, podemos igualar coeficientes. Se expandirmos o lado direito (ou usar outra técnica), chegamos ao sistema:
A+C = 0,
-2A + B + D = 0
Já sabemos B=-tfrac34 e D=tfrac114. Então
A = B+D2 = -tfrac34 + tfrac1142 = 1,
e C=-A=-1.

Passo 7

Agora a integral vira
integral l(1x+1 - 3/4(x+1)^2 - 1x-1 + 11/4(x-1)^2r),dx

Passo 8

A gente integra cada parte:
  • integral 1x+1,dx = ln|x+1|.
  • integral 1(x+1)^2,dx = -1x+1.
  • integral 1x-1,dx = ln|x-1|.
  • integral 1(x-1)^2,dx = -1x-1.
    Então fica
ln|x+1| + 34(x+1) - ln|x-1| - 114(x-1) + C

Passo 9

É legal juntar os logaritmos:
lnl|x+1x-1r| + 34(x+1) - 114(x-1) + C

Resposta

lnl|x+1x-1r| + 34(x+1) - 114(x-1) + C

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