Calcular a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Esse assunto é integração por frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a função em frações simples. Explico cada passo bonitinho.
Passo 2
Precisamos observar que
é igual a
. Então nosso integrando fica
A ideia é escrever isso como
Passo 3
Multiplico ambos os lados pelo denominador completo
. Aí fica
Agora a gente acha A, B, C e D.
Passo 4
Avalio em
. O lado esquerdo vira
. No lado direito só o termo com B sobrevive:
Então
, logo
.
Passo 5
Avalio em
. O lado esquerdo é
. No lado direito só o termo com D sobrevive:
Assim
, logo
.
Passo 6
Para achar A e C, podemos igualar coeficientes. Se expandirmos o lado direito (ou usar outra técnica), chegamos ao sistema:
Já sabemos
e
. Então
e
.
Passo 7
Agora a integral vira
Passo 8
A gente integra cada parte:
-
. -
. -
. -
.
Então fica
Passo 9
É legal juntar os logaritmos: