Qual é o módulo do campo elétrico de 1150 \mathrm{~N} / \mathrm{C} em um ponto muito próximo da superficie externa da esfera?

Passo 1

O enunciado pede o excesso de elétrons a ser adicionado a um condutor esférico isolado de diâmetro 26{,}0\\ \mathrm{cm} para que o módulo do campo elétrico na superfície seja 1150\\ \mathrm{N/C}. O conteúdo utilizado será o campo elétrico de uma carga puntiforme (ou esfera condutora) e a relação entre carga e número de elétrons.

Passo 2

Para uma esfera condutora, o campo elétrico imediato fora da superfície é dado por
E = \frac{k\,Q}{r^{2}}
onde E é o módulo do campo, k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} é a constante eletrostática, Q é a carga total da esfera e r é o raio.

Passo 3

Calculamos o raio da esfera a partir do diâmetro d=26{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}260\\ \mathrm{m}:
r = \frac{d}{2} = 0{,}130\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolando Q na expressão do campo:
Q = \frac{E\,r^{2}}{k}
Substituindo E=1150\\ \mathrm{N/C}, r=0{,}130\\ \mathrm{m} e k=8{,}99\times10^{9}:
Q = \frac{1150 \times (0{,}130)^{2}}{8{,}99\times10^{9}} = \frac{1150 \times 0{,}0169}{8{,}99\times10^{9}} \approx 2{,}16\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Cada elétron tem carga e = 1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. O número de elétrons necessários é
n = \frac{|Q|}{e} = \frac{2{,}16\times10^{-9}}{1{,}60\times10^{-19}} \approx 1{,}35\times10^{10}.
Como queremos um excesso de elétrons, adicionamos n elétrons.

Resposta

O excesso de elétrons é aproximadamente 1{,}35\times10^{10} elétrons.

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