Um plano em R^3 passa pelo ponto P=(-5,1,2) e tem como vetor normal n=(a, b, a+1). Determine a relação entre a e b devem obedecer para que esse plano passe pela origem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano no espaço tridimensional R^3 que passa pelo ponto P=(-5,1,2) e possui um vetor normal n=(a, b, a+1). Queremos descobrir qual relação deve existir entre os coeficientes a e b para que esse plano também passe pela origem, ou seja, pelo ponto (0,0,0).

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como escrever a equação de um plano usando um ponto conhecido e o vetor normal. A fórmula geral do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é um ponto qualquer no plano e (a, b, c) é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, o ponto conhecido é P=(-5,1,2) e o vetor normal é n=(a, b, a+1). Substituindo na fórmula, temos:
a(x + 5) + b(y - 1) + (a + 1)(z - 2) = 0

Passo 3

Agora, queremos que o plano passe também pela origem (0,0,0). Para isso, substituímos x=0, y=0 e z=0 na equação do plano:
a(0 + 5) + b(0 - 1) + (a + 1)(0 - 2) = 0
Simplificando:
5a - b - 2(a + 1) = 0
Distribuindo o -2:
5a - b - 2a - 2 = 0
Juntando termos semelhantes:
3a - b - 2 = 0
Isolando os termos com a e b:
3a - b = 2

Resposta

A relação que a e b devem satisfazer para que o plano passe pela origem é:
3a - b = 2

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