Um plano em
passa pelo ponto
e tem como vetor normal
. Determine a relação entre
e
devem obedecer para que esse plano passe pela origem.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano no espaço tridimensional
que passa pelo ponto
e possui um vetor normal
. Queremos descobrir qual relação deve existir entre os coeficientes
e
para que esse plano também passe pela origem, ou seja, pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como escrever a equação de um plano usando um ponto conhecido e o vetor normal. A fórmula geral do plano é dada por:
onde
é um ponto qualquer no plano e
é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, o ponto conhecido é
e o vetor normal é
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, queremos que o plano passe também pela origem
. Para isso, substituímos
,
e
na equação do plano:
Simplificando:
Distribuindo o
:
Juntando termos semelhantes:
Isolando os termos com
e
:
Resposta
A relação que
e
devem satisfazer para que o plano passe pela origem é: