Calcular o comprimento de arco da curva dada de forma paramétrica.
12.7)
12.7)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva paramétrica definida por
x(t)=t³/3 e y(t)=t²/2 para 0≤t≤2. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos precisar usar a fórmula
x(t)=t³/3 e y(t)=t²/2 para 0≤t≤2. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos precisar usar a fórmula
além de calcular as derivadas de x(t) e y(t).
Passo 2
Primeiro, derivamos x(t) e y(t):
Isso vem das regras básicas de derivação: a derivada de t³/3 é t² e a de t²/2 é t.
Passo 3
Agora montamos a integral de comprimento usando as derivadas:
Passo 4
Dentro da raiz, fatoramos t²:
já que t≥0 em [0,2]. Logo
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a substituição u=t²+1, então du=2t dt ou t dt=du/2. Os limites vão de u(0)=1 até u(2)=5, ficando