Calcular o comprimento de arco da curva dada de forma paramétrica.
12.7) lx=t^33 y=t^22 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva paramétrica definida por
x(t)=t³/3 e y(t)=t²/2 para 0≤t≤2. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt
além de calcular as derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Primeiro, derivamos x(t) e y(t):
dxdt=t^2,
dydt=t
Isso vem das regras básicas de derivação: a derivada de t³/3 é t² e a de t²/2 é t.

Passo 3

Agora montamos a integral de comprimento usando as derivadas:
L=integral0^2raiz(t^2)^2+(t)^2,dt=integral0^2raizt^4+t^2,dt

Passo 4

Dentro da raiz, fatoramos t²:
raizt^4+t^2=raizt^2(t^2+1)=traizt^2+1,
já que t≥0 em [0,2]. Logo
L=integral0^2 traizt^2+1,dt

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a substituição u=t²+1, então du=2t dt ou t dt=du/2. Os limites vão de u(0)=1 até u(2)=5, ficando
L=integralu=1^5 raizu,du2=12integral1^5 u^1/2,du=12cdot23[u^3/2]1^5=13l(5^3/2-1^3/2r)=13(5raiz5-1)

Resposta

13(5raiz5 - 1)

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