Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
11.11) x=y^48+14 y^2, 1 <= y <= 2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva x = y^48 + 14y^2 para 1 <= y <= 2. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramatrizada por y. Vamos usar a fórmula
L = integraly1^y2 raiz1 + l(dxdyr)^2,dy

Passo 2

Primeiro, derivamos x(y) em relação a y:
dxdy = ddyl(y^48 + 14y^2r) = 4y^38 - 24y^3 = y^32 - 12y^3

Passo 3

Em seguida, montamos o integrando:
1 + l(dxdyr)^2 = 1 + l(y^32 - 12y^3r)^2 = 1 + (y^6 - 1)^24y^6 = 4y^6 + (y^6-1)^24y^6 = (y^6+1)^24y^6
Como y>0, temos
raiz1 + l(tfracdxdyr)^2 = y^6+12y^3

Passo 4

Agora integramos de 1 a 2:
L = integral1^2 y^6+12y^3,dy = 12integral1^2 l(y^3 + y^-3r),dy
A antiderivada é
y^48 - y^-24
e, avaliando de 1 a 2, obtemos
l(2^48 - 2^-24r) - l(1^48 - 1^-24r) = l(2 - tfrac116r) - l(tfrac18 - tfrac14r) = 3116 + 216 = 3316

Resposta

L = dfrac3316

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