(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=1-2 t, y=t^2+4, 0 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas equações que definem uma curva de forma paramétrica:
x = 1 - 2t, y = t^2 + 4, 0 <= t <= 3
A gente vai precisar entender de equações paramétricas, plotar alguns pontos para desenhar a curva e depois eliminar o parâmetro $ t $ para achar a equação na forma cartesiana (só em termos de $ x $ e $ y $).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Esboçar a curva usando as equações paramétricas.
Para isso, vamos escolher alguns valores de $ t $ dentro do intervalo de 0 a 3 e calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $.
$ t $ $ x = 1 - 2t $ $ y = t^{2} + 4 $
0 $ 1 - 2(0) = 1 $ $ 0^{2} + 4 = 4 $
1 $ 1 - 2(1) = -1 $ $ 1^{2} + 4 = 5 $
2 $ 1 - 2(2) = -3 $ $ 2^{2} + 4 = 8 $
3 $ 1 - 2(3) = -5 $ $ 3^{2} + 4 = 13 $

Passo 3

Agora que temos alguns pontos ($ x, y $), vamos plotá-los num gráfico:
  • $ (1, 4) $
  • $ (-1, 5) $
  • $ (-3, 8) $
  • $ (-5, 13) $
Conectando esses pontos, teremos uma curva que vai da direita para a esquerda e de baixo para cima conforme $ t $ aumenta.

Passo 4

Vamos indicar a direção da curva com uma seta. Como $ t $ está aumentando de 0 a 3, a curva começa no ponto $ (1, 4) $ e vai seguindo para $ (-5, 13) $. Então, a seta vai apontar nessa direção.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva.
Primeiro, da equação de $ x $:
t
Podemos resolver para $ t $:
x

Passo 6

Com o valor de $ t $ em mãos, substituímos na equação de $ y $:
t
Simplificando:
y

Resposta

A equação cartesiana da curva é:
y = (1 - x)^24 + 4

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