(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme
aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas equações que definem uma curva de forma paramétrica:
A gente vai precisar entender de equações paramétricas, plotar alguns pontos para desenhar a curva e depois eliminar o parâmetro $ t $ para achar a equação na forma cartesiana (só em termos de $ x $ e $ y $).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): Esboçar a curva usando as equações paramétricas.
Para isso, vamos escolher alguns valores de $ t $ dentro do intervalo de 0 a 3 e calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $.
$ t $ | $ x = 1 - 2t $ | $ y = t^{2} + 4 $ |
---|---|---|
0 | $ 1 - 2(0) = 1 $ | $ 0^{2} + 4 = 4 $ |
1 | $ 1 - 2(1) = -1 $ | $ 1^{2} + 4 = 5 $ |
2 | $ 1 - 2(2) = -3 $ | $ 2^{2} + 4 = 8 $ |
3 | $ 1 - 2(3) = -5 $ | $ 3^{2} + 4 = 13 $ |
Passo 3
Agora que temos alguns pontos ($ x, y $), vamos plotá-los num gráfico:
- $ (1, 4) $
- $ (-1, 5) $
- $ (-3, 8) $
- $ (-5, 13) $
Conectando esses pontos, teremos uma curva que vai da direita para a esquerda e de baixo para cima conforme $ t $ aumenta.
Passo 4
Vamos indicar a direção da curva com uma seta. Como $ t $ está aumentando de 0 a 3, a curva começa no ponto $ (1, 4) $ e vai seguindo para $ (-5, 13) $. Então, a seta vai apontar nessa direção.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva.
Primeiro, da equação de $ x $:
Podemos resolver para $ t $:
Passo 6
Com o valor de $ t $ em mãos, substituímos na equação de $ y $:
Simplificando:
Resposta
A equação cartesiana da curva é: