Calcular o comprimento de arco da curva dada:
a)
a)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva paramétrica
x=\frac{1}{3}t^3 e y=\tfrac{1}{2}t^2 para 0≤t≤3. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar usar a fórmula que diz:
x=\frac{1}{3}t^3 e y=\tfrac{1}{2}t^2 para 0≤t≤3. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar usar a fórmula que diz:
Para uma curva dada por x(t), y(t) em [a,b],
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t:
Para x(t)=\tfrac{1}{3}t^3 temos
Para y(t)=\tfrac{1}{2}t^2 temos
Passo 3
Agora montamos a integral de comprimento de arco e simplificamos o radicando:
Passo 4
Para calcular
udamos a substituição u=t^2+1, então du=2t,dt. Assim,
Passo 5
Basta agora avaliar entre t=0 e t=3:
No limite superior t=3 temos (t2+1){3/2}=(9+1){3/2}=10{3/2}=10\sqrt{10}. Então
$$\frac{1}{3}\bigl(10\sqrt{10}\bigr)=\frac{10\sqrt{10}}{3}.
$$
No limite inferior t=0 dá (02+1){3/2}=1, ou seja 1/3.
No limite inferior t=0 dá (02+1){3/2}=1, ou seja 1/3.
Subtraindo, o comprimento de arco é
$$L=\frac{10\sqrt{10}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{10\sqrt{10}-1}{3}.
$$