Calcular o comprimento de arco da curva dada:
a) lx=13 t^3 y=12 t^2, 0 <= t <= 3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva paramétrica
x=\frac{1}{3}t^3 e y=\tfrac{1}{2}t^2 para 0≤t≤3. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar usar a fórmula que diz:
Para uma curva dada por x(t), y(t) em [a,b],
L=integrala^braiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t:
Para x(t)=\tfrac{1}{3}t^3 temos
x'(t)=t^2
Para y(t)=\tfrac{1}{2}t^2 temos
y'(t)=t

Passo 3

Agora montamos a integral de comprimento de arco e simplificamos o radicando:
L=integral0^3raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt =integral0^3raizt^4+t^2,dt =integral0^3 traizt^2+1,dt

Passo 4

Para calcular
integral0^3 traizt^2+1,dt,
udamos a substituição u=t^2+1, então du=2t,dt. Assim,
integral traizt^2+1,dt=12integral u^1/2,du=12cdot23u^3/2=13(t^2+1)^3/2+ ormalfontconst

Passo 5

Basta agora avaliar entre t=0 e t=3:
No limite superior t=3 temos (t2+1){3/2}=(9+1){3/2}=10{3/2}=10\sqrt{10}. Então
$$\frac{1}{3}\bigl(10\sqrt{10}\bigr)=\frac{10\sqrt{10}}{3}.
$$
No limite inferior t=0 dá (02+1){3/2}=1, ou seja 1/3.
Subtraindo, o comprimento de arco é
$$L=\frac{10\sqrt{10}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{10\sqrt{10}-1}{3}.
$$

Resposta

dfrac10raiz10-13

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