Encontre a família isogonal que intercepta a família a um parâmetro
, com o ângulo de
. ( Resp.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a família de curvas que cruzam, com ângulo constante π/3, a família de retas y = c x. O conteúdo é o de trajetórias isogonais: vamos usar a relação entre as declividades das curvas e o ângulo entre elas para montar uma equação diferencial.
Passo 2
Chamando m₁ = c a declividade da reta y = c x e m₂ = dy/dx a declividade da curva procurada, a condição de ângulo constante θ entre as curvas é dada por tan(θ) = |(m₂ – m₁)/(1 + m₁m₂)|. Como θ = π/3, tan(π/3) = √3, temos (m₂ – c)/(1 + c m₂) = ±√3.
Resolvendo para m₂ em função de c obtemos m₂ = (c ± √3)/(1 ∓ √3c). Essa é a expressão da derivada dy/dx de cada curva em termos do parâmetro c.
Resolvendo para m₂ em função de c obtemos m₂ = (c ± √3)/(1 ∓ √3c). Essa é a expressão da derivada dy/dx de cada curva em termos do parâmetro c.
Passo 3
Para eliminar c, usamos y = cx ⇒ c = y/x. Logo dy/dx = (y/x ± √3)/(1 ∓ √3(y/x)), que simplifica para dy/dx = (y ± √3 x)/(x ∓ √3 y). Reconhecemos uma equação diferencial homogênea.
Fazemos a troca u = y/x ⇒ dy/dx = u + x (du/dx). Substituindo na ED homogênea e isolando x du/dx, chega-se a x (du/dx) = [±√3 (1 + u²)]/[1 ∓ √3u], onde o sinal ± corresponde às duas famílias isogonais.
Fazemos a troca u = y/x ⇒ dy/dx = u + x (du/dx). Substituindo na ED homogênea e isolando x du/dx, chega-se a x (du/dx) = [±√3 (1 + u²)]/[1 ∓ √3u], onde o sinal ± corresponde às duas famílias isogonais.
Passo 4
Separamos variáveis: ∫(1 ∓ √3u)/(1+u²) du = ±√3 ∫ dx/x. Calculamos as integrais usando ∫du/(1+u²)=arctan(u) e ∫u/(1+u²)du=(1/2)ln(1+u²).
Substituindo u = y/x, reorganizando e exponenciando, obtemos a família geral das isogonais: ∓(2/√3) arctan(y/x) + ln(x²+y²) = ln c₂, que equivale a ∓(2/√3) arctan(y/x) + ln[c₂(x²+y²)] = 0.
Substituindo u = y/x, reorganizando e exponenciando, obtemos a família geral das isogonais: ∓(2/√3) arctan(y/x) + ln(x²+y²) = ln c₂, que equivale a ∓(2/√3) arctan(y/x) + ln[c₂(x²+y²)] = 0.