Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral-infty^2 15-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral
integral-infty^2 15-2x , dx
converge ou diverge, e se convergir, calcular o seu limite. Esse tipo de problema está na área do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais impróprias porque um dos limites de integração é o infinito. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral como um limite. Como o limite inferior é -infty, a gente expressa a integral imprópria assim:
lima to -infty integrala^2 15-2x , dx
Isso significa que vamos calcular a integral de a até 2 e depois ver o que acontece quando a vai para menos infinito.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função 15-2x. Para isso, fazemos uma substituição simples:
  • Seja u = 5 - 2x, então du = -2 , dx ou dx = -12 , du.
Substituindo na integral:
integral 15-2x , dx = integral 1u cdot (-12) , du = -12 ln|u| + C
Voltando para x, fica:
-12 ln|5 - 2x| + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a até 2:
-12 ln|5 - 2(2)| + 12 ln|5 - 2a|
Calculando:
-12 ln(1) + 12 ln|5 - 2a|
Sabemos que ln(1) = 0, então temos:
12 ln|5 - 2a|
Agora, vamos calcular o limite quando a to -infty:
lima to -infty 12 ln|5 - 2a|
Como a está indo para menos infinito, -2a vai para mais infinito, então 5 - 2a também vai para mais infinito. A função logaritmo cresce sem limite, então:
12 ln(infty) = infty

Resposta

A integral diverge, ou seja, ela não converge para um valor finito.

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