Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral
converge ou diverge, e se convergir, calcular o seu limite. Esse tipo de problema está na área do Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais impróprias porque um dos limites de integração é o infinito. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e entender como lidar com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral como um limite. Como o limite inferior é
, a gente expressa a integral imprópria assim:
Isso significa que vamos calcular a integral de
até 2 e depois ver o que acontece quando
vai para menos infinito.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
- Seja
, então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para
, fica:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de
até 2:
Calculando:
Sabemos que
, então temos:
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Como
está indo para menos infinito,
vai para mais infinito, então
também vai para mais infinito. A função logaritmo cresce sem limite, então:
Resposta
A integral diverge, ou seja, ela não converge para um valor finito.