1. Calcular o comprimento do arco da curva y=x^2 para 0 <= x <= 10.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva y = x^2 no intervalo 0 <= x <= 10.
O conteúdo aplicado é o cálculo de comprimento de arco de uma função y = f(x), cuja fórmula geral é
s = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada de y:
y' = dydx = 2x
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
s = integral0^10 raiz1 + (2x)^2,dx = integral0^10 raiz1 + 4x^2,dx

Passo 3

Para resolver integral raiz1 + 4x^2,dx, fazemos a substituição u = 2x, de modo que du = 2,dx e dx = tfracdu2. Assim
integral raiz1 + 4x^2,dx = 12 integral raiz1 + u^2,du
A primitiva conhecida de raiz1+u^2 é
integral raiz1+u^2,du = u2,raiz1+u^2 + 12lnl(u + raiz1+u^2r) + C
Logo,
integral raiz1 + 4x^2,dx = 12!l[u2raiz1+u^2 + 12lnl(u + raiz1+u^2r)r] + C = xraiz1+4x^22 + 14lnl(2x + raiz1+4x^2r) + C

Passo 4

Agora avaliamos entre x=0 e x=10:
No extremo x=10, raiz1+4cdot10^2 = raiz401, então
xraiz1+4x^22 + 14lnl(2x + raiz1+4x^2r)|0^10 = l(5raiz401 + tfrac14lnl(20 + raiz401r)r) - l(0 + tfrac14ln 1r)
Como ln1 = 0, fica
s = 5raiz401 ;+;14lnl(20 + raiz401r)

Resposta

s = 5raiz401 ;+;14lnl(20 + raiz401r) approx 101,05

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