8.3H Determine, se existir, a interseção entre os seguintes pares de curvas:
(c) r^2=4 sen 2 theta e r=2 raiz2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre as curvas em coordenadas polares
r^2=4sin(2theta)
e
r=2raiz2,costheta
O conteúdo aqui é resolver um sistema de equações polares.

Passo 2

Substituímos r da segunda equação na primeira. Como r=2raiz2costheta, temos
r^2=(2raiz2costheta)^2=8cos^2theta
Logo a primeira equação se torna
8cos^2theta=4sin(2theta)

Passo 3

Usamos a identidade sin(2theta)=2sinthetacostheta. Assim
8cos^2theta =4cdot2sinthetacostheta =8sinthetacostheta
Podemos reescrever como
8cos^2theta -8sinthetacostheta=0 ;Longrightarrow; 8costheta(costheta-sintheta)=0
Isso gera dois casos:
  1. costheta=0.
  2. costheta-sintheta=0, ou seja tantheta=1.

Passo 4

Analisamos cada caso:
— Caso costheta=0: então da segunda equação r=2raiz2costheta=0. Esse ponto é a origem (r=0). Para verificar na primeira, basta notar que r^2=0 e sin(2theta)=0 sempre que theta=kpi/2, incluindo theta=pi/2,3pi/2. Logo a origem aparece como interseção para theta=pi/2 e theta=3pi/2.
— Caso tantheta=1: tem-se
theta=pi4+kpi
Tomando a solução que faz costheta>=0 para r>=0, escolhemos theta=pi/4. Nesse ponto
r=2raiz2cosl(pi4r) =2raiz2cdotraiz22=2

Passo 5

Concluímos que, além da interseção degenerada na origem ( r=0, theta=pi/2,3pi/2), a única interseção não trivial das curvas é
(r,theta) = l(2,tfracpi4r)

Resposta

A interseção não trivial ocorre em
(r,theta)=l(2,tfracpi4r),
além da interseção degenerada na origem.

Exercícios relacionados