8.3H Determine, se existir, a interseção entre os seguintes pares de curvas:
(c)
e
(c)
Passo 1
O enunciado pede a interseção entre as curvas em coordenadas polares
e
O conteúdo aqui é resolver um sistema de equações polares.
Passo 2
Substituímos
da segunda equação na primeira. Como
, temos
Logo a primeira equação se torna
Passo 3
Usamos a identidade
. Assim
Podemos reescrever como
Isso gera dois casos:
-
. -
, ou seja .
Passo 4
Analisamos cada caso:
— Caso
: então da segunda equação
. Esse ponto é a origem
. Para verificar na primeira, basta notar que
e
sempre que
, incluindo
. Logo a origem aparece como interseção para
e
.
— Caso
: tem-se
Tomando a solução que faz
para
, escolhemos
. Nesse ponto
Passo 5
Concluímos que, além da interseção degenerada na origem (
,
), a única interseção não trivial das curvas é
Resposta
A interseção não trivial ocorre em
além da interseção degenerada na origem.