Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.4)
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(14.4)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares, que é $ r = -1 + \sin \theta $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de comprimentos de curvas em coordenadas polares. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e fazer umas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. Ela é:
Aqui, $ r $ é a função que define a curva e $ \theta $ varia de $ \alpha $ a $ \beta $.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossos limites de integração. Como estamos trabalhando com coordenadas polares e queremos cobrir toda a curva, vamos integrar de $ 0 $ a $ 2\pi $, que é o intervalo completo para uma curva polar completa.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $:
Então, a expressão fica:
Podemos fatorar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Para resolver a integral $ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2 - 2\sin \theta} , d\theta $, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que essa integral corresponde ao comprimento de uma curva conhecida. Neste caso, a integral resulta em:
Resposta
O comprimento de arco da curva $ r = -1 + \sin \theta $ é $ 8 $ unidades.