Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.4) r=-1+sen theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares, que é $ r = -1 + \sin \theta $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de comprimentos de curvas em coordenadas polares. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e fazer umas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. Ela é:
L = integralalpha^beta raiz(drdtheta)^2 + r^2 , dtheta
Aqui, $ r $ é a função que define a curva e $ \theta $ varia de $ \alpha $ a $ \beta $.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossos limites de integração. Como estamos trabalhando com coordenadas polares e queremos cobrir toda a curva, vamos integrar de $ 0 $ a $ 2\pi $, que é o intervalo completo para uma curva polar completa.
0

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
r
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
theta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(cos theta)^2 + (-1 + sin theta)^2 = cos^2 theta + 1 - 2sin theta + sin^2 theta
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Então, a expressão fica:
1 + 1 - 2sin theta = 2 - 2sin theta
Podemos fatorar a expressão dentro da raiz:
L = integral0^2pi raiz2 - 2sin theta , dtheta

Passo 6

Para resolver a integral $ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2 - 2\sin \theta} , d\theta $, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que essa integral corresponde ao comprimento de uma curva conhecida. Neste caso, a integral resulta em:
integral0^2pi raiz2 - 2sin theta , dtheta

Resposta

O comprimento de arco da curva $ r = -1 + \sin \theta $ é $ 8 $ unidades.

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