Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.7) Interior à lemniscata r^2=a^2 cos 2 theta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região interior à lemniscata dada em coordenadas polares por r^2=a^2cos2theta. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula que relaciona a área a r(theta).

Passo 2

Em coordenadas polares, a área de uma região limitada por r(theta) de theta=alpha até theta=beta é dada por
A=12integralalpha^betar(theta)^2,dtheta

Passo 3

Precisamos achar para quais theta a curva existe (isto é, r^2>=0). Como r^2=a^2cos2theta, exigimos
cos2theta>=0
que ocorre em $ -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}$ e em -tfracpi4<=theta<=tfracpi4. Essas são duas folhas simétricas da lemniscata.

Passo 4

Para simplificar, calculamos a área de uma folha (por exemplo, de -tfracpi4 até tfracpi4) e depois multiplicamos por 2. A área de uma folha é
Afolha=12integral-pi/4^pi/4a^2cos2theta,dtheta
Fazendo a integral:
Afolha=a^22[sin2theta2]-pi/4^pi/4 =a^24l(sintfracpi2-sin(-tfracpi2)r) =a^24(1-(-1)) =a^22

Passo 5

Como há duas folhas idênticas, a área total é
A=2times Afolha=2timesa^22=a^2

Resposta

a^2

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