Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.7) Interior à lemniscata
.
(13.7) Interior à lemniscata
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da região interior à lemniscata dada em coordenadas polares por
. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula que relaciona a área a
.
Passo 2
Em coordenadas polares, a área de uma região limitada por
de
até
é dada por
Passo 3
Precisamos achar para quais
a curva existe (isto é,
). Como
, exigimos
que ocorre em $ -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}$ e em
. Essas são duas folhas simétricas da lemniscata.
Passo 4
Para simplificar, calculamos a área de uma folha (por exemplo, de
até
) e depois multiplicamos por 2. A área de uma folha é
Fazendo a integral:
Passo 5
Como há duas folhas idênticas, a área total é