Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.3) Intersecção do círculo
com o interior da cardióide
.
(13.3) Intersecção do círculo
Passo 1
A gente precisa achar a área da região que está dentro do círculo r=cos θ e também dentro da cardioide r=1−cos θ, ou seja, a interseção dos dois lugares em coordenadas polares. Vamos usar integração polar para resolver.
Passo 2
Para descobrir onde as duas curvas se cruzam, igualamos r:
Logo
Passo 3
Precisamos ver qual curva dá o limite radial em cada intervalo. Note que para θ∈[−π/3,
π/3] temos cos θ≥½>0 e
π/3] temos cos θ≥½>0 e
Isso quer dizer que, entre −π/3 e π/3, a região comum vai de r=0 até r=1−cos θ. Fora desse intervalo não há interseção com r≥0.
Passo 4
A área em polares é dada por
Passo 5
Para integrar, expandimos
Passo 6
Então
Passo 7
Calculando a primitiva e avaliando de −π/3 a π/3 dá