Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas:
(13.3) Intersecção do círculo r=cos theta com o interior da cardióide r=1-cos theta.

Passo 1

A gente precisa achar a área da região que está dentro do círculo r=cos θ e também dentro da cardioide r=1−cos θ, ou seja, a interseção dos dois lugares em coordenadas polares. Vamos usar integração polar para resolver.

Passo 2

Para descobrir onde as duas curvas se cruzam, igualamos r:
cos θ = 1 - cos θ
Logo
2cos θ =1implies cos θ = tfrac12implies θ=pmtfracπ3

Passo 3

Precisamos ver qual curva dá o limite radial em cada intervalo. Note que para θ∈[−π/3,
π/3] temos cos θ≥½>0 e
1-cos θ<=cos θ
Isso quer dizer que, entre −π/3 e π/3, a região comum vai de r=0 até r=1−cos θ. Fora desse intervalo não há interseção com r≥0.

Passo 4

A área em polares é dada por
A=12 integral-π/3^π/3(1-cos θ)^2,dθ

Passo 5

Para integrar, expandimos
(1-cos θ)^2 = 1-2cos θ+cos^2 θ = 1-2cos θ+1+cos2θ2

Passo 6

Então
A=12integral-π/3^π/3l(1-2cos θ+1+cos2θ2r)dθ = integral-π/3^π/3l(34-cos θ+14cos2θr)dθ

Passo 7

Calculando a primitiva e avaliando de −π/3 a π/3 dá
A=π2-7raiz38

Resposta

A=π2-7raiz38

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