(a) Encontre uma parametrização para a superfície obtida girando-se o círculo
, em torno do eixo
. Esta superfície é chamada de toro.
© Esta superfície é regular?
© Esta superfície é regular?
Passo 1
O enunciado pede para achar uma parametrização da superfície (o toro) obtida ao girar o círculo
, com
, em torno do eixo
. O conteúdo é parametrização de superfícies em coordenadas cartesianas, e vamos precisar usar dois parâmetros angulares: um para percorrer o círculo gerador e outro para a rotação em torno do eixo
.
Passo 2
Vamos chamar de
o ângulo que percorre o círculo gerador no plano
e de
o ângulo de rotação ao redor do eixo
. No plano
, o ponto do círculo é dado por
Ao girar esse ponto de ângulo
em torno de
, aplicamos a rotação xy:
com
e
.
Passo 3
Para verificar a regularidade, calculamos as derivadas parciais e o produto vetorial. Primeiro:
O módulo do produto vetorial é
Como
e
, temos
para todo
, então o produto vetorial nunca é nulo. Portanto a superfície é regular.
Resposta
A parametrização do toro é
Essa superfície é regular, pois
para todo
.