(a) Encontre uma parametrização para a superfície obtida girando-se o círculo (x-a)^2+z^2=r^2, 0< r, em torno do eixo z. Esta superfície é chamada de toro.
© Esta superfície é regular?

Passo 1

O enunciado pede para achar uma parametrização da superfície (o toro) obtida ao girar o círculo (x-a)^2+z^2=r^2, com 0, em torno do eixo z. O conteúdo é parametrização de superfícies em coordenadas cartesianas, e vamos precisar usar dois parâmetros angulares: um para percorrer o círculo gerador e outro para a rotação em torno do eixo z.

Passo 2

Vamos chamar de u o ângulo que percorre o círculo gerador no plano xz e de v o ângulo de rotação ao redor do eixo z. No plano xz, o ponto do círculo é dado por
(a + r,cos u, ,0,; r,sin u)
Ao girar esse ponto de ângulo v em torno de z, aplicamos a rotação xy:
r(u,v)= l((a+rcos u)cos v,;(a+rcos u)sin v,;rsin ur),
com uin[0,2pi] e vin[0,2pi].

Passo 3

Para verificar a regularidade, calculamos as derivadas parciais e o produto vetorial. Primeiro:
ru=(-rsin ucos v,,-rsin usin v,,rcos u),
rv=(-(a+rcos u)sin v,;(a+rcos u)cos v,,0)
O módulo do produto vetorial é
| rutimes rv|=r,(a+rcos u)
Como a>r e cos u>=-1, temos a+rcos u>0 para todo u, então o produto vetorial nunca é nulo. Portanto a superfície é regular.

Resposta

A parametrização do toro é
r(u,v)=l((a+rcos u)cos v,;(a+rcos u)sin v,;rsin ur), u,vin[0,2pi]
Essa superfície é regular, pois
| rutimes rv|=r,(a+rcos u)>0
para todo (u,v).

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