Determine o volume de
limitado pelas superficies
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido E limitado apenas pelas superfícies z = x² + 3y² e z = x² – y². O conteúdo aqui é volume entre duas superfícies, que costuma ser dado por uma integral dupla sobre a projeção no plano xy da diferença entre a superfície superior e a inferior.
Passo 2
Para saber qual superfície está acima da outra e qual é a região de projeção D, igualamos as duas: x² + 3y² = x² – y² ⇒ 4y² = 0 ⇒ y = 0. Isso mostra que as duas superfícies só se encontram ao longo da reta y = 0, e para todo y ≠ 0 temos x² + 3y² > x² – y². Ou seja, z_sup = x² + 3y² e z_inf = x² – y², e a projeção D = ℝ² (o plano inteiro), pois não há outra curva de interseção que limite D a um conjunto fechado e limitado.
Passo 3
Montamos a integral de volume como V = ∬_D [z_sup – z_inf] dA = ∬_{ℝ²} [(x² + 3y²) – (x² – y²)] dA = ∬_{ℝ²} 4y² dA.
Passo 4
Ao tentar calcular ∬_{ℝ²} 4y² dA escrevemos em coordenadas retangulares: ∫_{y=-∞}^{∞} ∫_{x=-∞}^{∞} 4y² dx dy = ∫_{y=-∞}^{∞} 4y² (∫_{x=-∞}^{∞} dx) dy. Mas ∫_{x=-∞}^{∞} dx = ∞, logo toda a integral diverge.
Passo 5
Como a projeção é todo o plano e a espessura 4y² não faz a integral em x convergir, concluímos que o volume é infinito.
Resposta
O volume do sólido é infinito (diverge).