Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
ointC(x y) d x+(x+y) d y
C é o círculo de eq x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha:
ointC(x y) d x+(x+y) d y
Aqui, é o círculo de equação . O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que estão na integral de linha. Temos:
  • ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro da curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • integral duplaD ( 1 - x ) dA
Substituindo na expressão do teorema:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral dupla sobre a região integral duplaD (1 - r cos theta) , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (r - r^2 cos theta) , dr , dtheta , que é o círculo unitário . Para facilitar, usamos coordenadas polares:
Os limites são de 0 a 1 e de 0 a . Substituindo:

Passo 5

Vamos integrar em integral0^1 (r - r^2 cos theta) , dr = [ r^22 - r^33 cos theta ]0^1 = 12 - 13 cos theta primeiro:
integral0^2pi ( 12 - 13 cos theta ) dtheta = 12 cdot 2pi - 13 cdot 0 = pi
Agora, integramos em :
Pois .

Resposta

O valor da integral é .

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