Aplicar o teorema de Green ao cálculo da integral curvilínea:
C é o círculo de eq
C é o círculo de eq
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha:
Aqui,
é o círculo de equação
. O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que estão na integral de linha. Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região dentro da curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do teorema:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o círculo unitário
. Para facilitar, usamos coordenadas polares:
Os limites são
de 0 a 1 e
de 0 a
. Substituindo:
Passo 5
Vamos integrar em
primeiro:
Agora, integramos em
:
Pois
.
Resposta
O valor da integral é
.