Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.2) a espiral
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(14.2) a espiral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de arco da espiral dada pela equação polar $ r = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\theta} $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \pi $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula específica para comprimento de arco em coordenadas polares e fazer algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco $ L $ de uma curva em coordenadas polares $ r = f(\theta) $. A fórmula é:
Essa fórmula nos diz que para encontrar o comprimento do arco, precisamos integrar a raiz quadrada da soma do quadrado da derivada de $ r $ em relação a $ \theta $ e do próprio $ r $ ao quadrado, no intervalo de $ a $ a $ b $.
Passo 3
Vamos identificar $ r $ e calcular sua derivada em relação a $ \theta $.
Dada a curva $ r = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\theta} $:
Primeiro, calculamos $ \frac{dr}{d\theta} $:
Passo 4
Agora, substituímos $ r $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento de arco:
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Agora, a expressão para $ L $ fica:
Isso porque a raiz quadrada de $ e^{2\theta} $ é $ e^{\theta} $.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Resposta
O comprimento de arco da espiral $ r = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\theta} $ de $ \theta = 0 $ até $ \theta = \pi $ é $ e^{\pi} - 1 $.