Calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas em coordenadas polares:
(14.2) a espiral r=1raiz2 e^theta, 0 <= theta <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de arco da espiral dada pela equação polar $ r = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\theta} $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \pi $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula específica para comprimento de arco em coordenadas polares e fazer algumas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco $ L $ de uma curva em coordenadas polares $ r = f(\theta) $. A fórmula é:
L
Essa fórmula nos diz que para encontrar o comprimento do arco, precisamos integrar a raiz quadrada da soma do quadrado da derivada de $ r $ em relação a $ \theta $ e do próprio $ r $ ao quadrado, no intervalo de $ a $ a $ b $.

Passo 3

Vamos identificar $ r $ e calcular sua derivada em relação a $ \theta $.
Dada a curva $ r = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\theta} $:
Primeiro, calculamos $ \frac{dr}{d\theta} $:
r

Passo 4

Agora, substituímos $ r $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento de arco:
r
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da raiz.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
( 1raiz2 e^theta )^2 + ( 1raiz2 e^theta )^2 = 12 e^2theta + 12 e^2theta = e^2theta
Agora, a expressão para $ L $ fica:
L
Isso porque a raiz quadrada de $ e^{2\theta} $ é $ e^{\theta} $.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
L = integral0^pi e^theta , dtheta = [ e^theta ]0^pi = e^pi - e^0 = e^pi - 1

Resposta

O comprimento de arco da espiral $ r = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\theta} $ de $ \theta = 0 $ até $ \theta = \pi $ é $ e^{\pi} - 1 $.

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