Resolva:
y1^prime & =-2 y2+4 t y2^prime & =2 y1-2 t y1(0) & =4, y2(0)=12

Passo 1

Temos um sistema de EDOs lineares acopladas não homogêneas:
y1' = -2y2 + 4t, y2' = 2y1 - 2t, y1(0)=4, y2(0)=tfrac12
O conteúdo aqui é resolver sistemas via desacoplamento, transformando em uma EDO de 2ª ordem para depois voltar ao sistema.

Passo 2

Para desacoplar, derivamos a primeira equação em relação a t:
y1'' = -2y2' + 4
Em seguida substituímos y2' da segunda equação y2' = 2y1 -2t para obter uma equação só em y1:
y1'' = -2(2y1 -2t) + 4 = -4y1 +4t +4
Logo temos
y1'' + 4y1 = 4t + 4
Este é um ODE linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Resolvendo y1'' +4y1 = 4t+4:
  1. Solução homogênea: equação yh''+4yh=0 tem raiz característica r^2+4=0, ou seja r=±2i, logo
y1h(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)
  1. Solução particular: como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, tentamos y1p(t)=at+b. Substituindo em y''+4y=4t+4
0 +4(at+b) =4t+4 Rightarrow 4a t +4b =4t+4
logo a=1 e b=1. Então
y1p(t)=t+1
Combinando,
y1(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)+t+1

Passo 4

Para encontrar y2(t), voltamos à primeira equação original y1' = -2y2+4t. Calculamos
y1'(t) = -2Asin(2t)+2Bcos(2t)+1
e isolamos y2:
y2 = -y1' +4t2 = Asin(2t) -Bcos(2t) -tfrac12 +2t
Então temos fórmulas gerais para y1 e y2 com constantes A,B.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y1(0)=A+1=4 Rightarrow A=3, y2(0) = Acdot0 -Bcdot1 -tfrac12 = -B-tfrac12 = tfrac12 Rightarrow -B=1 Rightarrow B=-1
Assim, A=3 e B=-1.

Resposta

y1(t)=3cos(2t)-sin(2t)+t+1, y2(t)=3sin(2t)+cos(2t)+2t-tfrac12.

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