Resolva:
Passo 1
Temos um sistema de EDOs lineares acopladas não homogêneas:
O conteúdo aqui é resolver sistemas via desacoplamento, transformando em uma EDO de 2ª ordem para depois voltar ao sistema.
Passo 2
Para desacoplar, derivamos a primeira equação em relação a
t :
Em seguida substituímos
y2' da segunda equação
y2' = 2y1 -2t para obter uma equação só em
y1 :
Logo temos
Este é um ODE linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Resolvendo
y1'' +4y1 = 4t+4 :
- Solução homogênea: equação
tem raiz característicayh''+4yh=0 , ou sejar^2+4=0 , logor=±2i
- Solução particular: como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, tentamos
. Substituindo emy1p(t)=at+b dáy''+4y=4t+4
logo
a=1 e
b=1 . Então
Combinando,
Passo 4
Para encontrar
y2(t) , voltamos à primeira equação original
y1' = -2y2+4t . Calculamos
e isolamos
y2 :
Então temos fórmulas gerais para
y1 e
y2 com constantes
A,B .
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais em
t=0 :
Assim,
A=3 e
B=-1 .