Calcule o numero real a de forma que a distancia do ponto
ao ponto
seja igual a 3 V 2 .
R :
ou
R :
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes:
- Ponto
com coordenadas . - Ponto
com coordenadas . - A distância entre
e deve ser igual a .
O que é pedido:
- Determinar todos os números reais
que satisfazem essa condição.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (distância euclidiana no plano):
onde
e
são as coordenadas dos dois pontos e
é a distância entre eles.
Explicando: a fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelas projeções dos pontos nos eixos. As diferenças
e
são os catetos; o comprimento da hipotenusa é a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos pontos dados:
- A diferença nas abscissas é
. - A diferença nas ordenadas é
.
Portanto a equação que representa a condição distância
é
Passo 4
Eliminar a raiz quadrada: como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas:
Subtrair
de ambos os lados:
Isto significa que o número
tem módulo
, ou seja
Passo 5
Resolver as duas possibilidades:
- Caso
:
- Caso
:
Fazer uma checagem rápida (substituição) confirma que para
temos
e para
temos
; em ambos os casos a soma dos quadrados das diferenças é
e a raiz é
, portanto ambas as soluções são válidas.