Calcule o numero real a de forma que a distancia do ponto \mathrm{P}(2 \mathrm{a}, 3) ao ponto \mathrm{Q}(1,0) seja igual a 3 V 2 .
R : \mathrm{a}=2 ou \mathrm{a}=-1

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
  • Ponto P com coordenadas (2a,\,3).
  • Ponto Q com coordenadas (1,\,0).
  • A distância entre P e Q deve ser igual a 3\sqrt{2}.
O que é pedido:
  • Determinar todos os números reais a que satisfazem essa condição.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (distância euclidiana no plano):
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},
onde (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são as coordenadas dos dois pontos e d é a distância entre eles.
Explicando: a fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelas projeções dos pontos nos eixos. As diferenças x_2-x_1 e y_2-y_1 são os catetos; o comprimento da hipotenusa é a raiz quadrada da soma dos quadrados.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos pontos dados:
  • A diferença nas abscissas é 1-(2a)=1-2a.
  • A diferença nas ordenadas é 0-3=-3.
Portanto a equação que representa a condição distância =3\sqrt{2} é
\sqrt{(1-2a)^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}.

Passo 4

Eliminar a raiz quadrada: como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas:
(1-2a)^2+9=18.
Subtrair 9 de ambos os lados:
(1-2a)^2=9.
Isto significa que o número 1-2a tem módulo 3, ou seja
1-2a=\pm 3.

Passo 5

Resolver as duas possibilidades:
  • Caso 1-2a=3:
1-2a=3 \quad\Rightarrow\quad -2a=2 \quad\Rightarrow\quad a=-1.
  • Caso 1-2a=-3:
1-2a=-3 \quad\Rightarrow\quad -2a=-4 \quad\Rightarrow\quad a=2.
Fazer uma checagem rápida (substituição) confirma que para a=-1 temos P(-2,3) e para a=2 temos P(4,3); em ambos os casos a soma dos quadrados das diferenças é 9+9=18 e a raiz é 3\sqrt{2}, portanto ambas as soluções são válidas.

Resposta

a=2 ou a=-1

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