São dados os pontos A(2, y), B(1,-4) e C(3,-1). Qual deve ser o valor de y para que o triangulo A B C seja retângulo em B? R: -14 / 3

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano e pede o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B. Dados:
  • A(2,y)
  • B(1,-4)
  • C(3,-1)
O que se pede: encontrar y tal que o ângulo em B seja um ângulo reto.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): para que o triângulo seja retângulo em B os segmentos BA e BC devem ser perpendiculares. Uma forma clássica de testar perpendicularidade em coordenadas é usar o produto escalar (dot product) de vetores.
Breve aula sobre vetores e produto escalar:
  • Se u=(u_x,u_y) e v=(v_x,v_y) são vetores no plano, o produto escalar é definido por
u\cdot v = u_x v_x + u_y v_y.
  • Geometricamente vale também u\cdot v = \|u\|\|v\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre u e v. Portanto, u e v são perpendiculares se, e somente se,
u\cdot v = 0,
pois então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ.
Vou aplicar isso com u=\overrightarrow{BA} e v=\overrightarrow{BC}.

Passo 3

Calcular as componentes dos vetores \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}.
Por definição, se P(x_1,y_1) e Q(x_2,y_2) então \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1).
Logo,
\overrightarrow{BA} = A - B = (2-1,\;y-(-4)) = (1,\;y+4),
\overrightarrow{BC} = C - B = (3-1,\;-1-(-4)) = (2,\;3).

Passo 4

Impor perpendicularidade usando o produto escalar:
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0.
Substituindo as componentes:
(1,\;y+4)\cdot(2,\;3)=0.
Usando a fórmula do produto escalar:
1\cdot 2 + (y+4)\cdot 3 = 0.
Desenvolvendo e isolando y:
2 + 3(y+4)=0,
2 + 3y + 12 = 0,
3y + 14 = 0,
y = -\dfrac{14}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (checagem): com y=-\dfrac{14}{3} temos y+4 = -\dfrac{14}{3}+4 = -\dfrac{14}{3}+\dfrac{12}{3} = -\dfrac{2}{3}. Então
\overrightarrow{BA}=(1,\;-\tfrac{2}{3}),\qquad \overrightarrow{BC}=(2,\;3).
Produto escalar:
1\cdot 2 + \Big(-\tfrac{2}{3}\Big)\cdot 3 = 2 - 2 = 0,
confirmando que os vetores são perpendiculares e portanto o triângulo é retângulo em B.

Resposta

-\dfrac{14}{3}

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