Calcular a concentração do íon hidrônio em uma solução tampão de ácido fosfórico \left(\mathrm{H}_{3} \mathrm{PO}_{4}\right) 2,00 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}{ }^{-1} e diidrogênio fosfato de potássio \left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}{ }^{-}\right) 1,50 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}{ }^{-1} . \mathrm{K}_{\mathrm{a} 1}= 7,11 \times 10^{-3}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a concentração do íon hidrônio na solução tampão formada por ácido fosfórico e seu íon diidrogenofosfato. Dados fornecidos:
\text{Concentração de } \mathrm{H_3PO_4}=2{,}00\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}çã
\text{Concentração de } \mathrm{H_2PO_4^-}=1{,}50\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}çã
\mathrm{K_{a1}}=7{,}11\times10^{-3}
A pergunta é: qual é a concentração de \mathrm{H_3O^+} (ou [\mathrm{H^+}]) na solução?

Passo 2

Entendendo o equilíbrio químico relevante (sem resolver ainda): para a primeira dissociação do ácido fosfórico temos a reação
\mathrm{H_3PO_4}\rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{H_2PO_4^-}.
O coeficiente de acidez da primeira dissociação, \mathrm{K_{a1}}, é definido por
\mathrm{K_{a1}}=\frac{[\mathrm{H^+}]\,[\mathrm{H_2PO_4^-}]}{[\mathrm{H_3PO_4}]},
onde entre colchetes [\cdot] significa concentração molar (mol·L^{-1}). Essa expressão vem da definição de constante de equilíbrio para a reação.

Passo 3

Isolando [\mathrm{H^+}] na expressão de \mathrm{K_{a1}} obtemos uma fórmula direta útil:
[\mathrm{H^+}]=\mathrm{K_{a1}}\cdot\frac{[\mathrm{H_3PO_4}]}{[\mathrm{H_2PO_4^-}]}.
Essa fórmula é prática quando temos um tampão com as concentrações iniciais conhecidas de ácido ( \mathrm{HA}) e de sua base conjugada ( \mathrm{A^-}), e quando podemos desprezar alterações pequenas de concentração causadas pela ionização adicional (aproximação válida em tampões concentrados). Outra forma equivalente é usar a relação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH}=\mathrm{pK_{a1}}+\log_{10}\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]},
com \mathrm{pK_{a1}}=-\log_{10}(\mathrm{K_{a1}}) e depois obter [\mathrm{H^+}]=10^{-\mathrm{pH}}. Vou calcular usando ambas as ideias (mostrando consistência) — primeiro calculemos \mathrm{pK_{a1}}.

Passo 4

Calcular \mathrm{pK_{a1}}:
\mathrm{pK_{a1}}=-\log_{10}\left(7{,}11\times10^{-3}\right).
Quebrando o logaritmo:
\log_{10}\left(7{,}11\times10^{-3}\right)=\log_{10}(7{,}11)+\log_{10}(10^{-3})\approx0{,}8513-3=-2{,}1487.
Portanto
\mathrm{pK_{a1}}=2{,}1487\quad(\text{aprox. }2{,}149).

Passo 5

Agora aplico Henderson–Hasselbalch para achar o pH do tampão:
\mathrm{pH}=\mathrm{pK_{a1}}+\log_{10}\frac{[\mathrm{H_2PO_4^-}]}{[\mathrm{H_3PO_4}]}.
Substituindo os valores:
\mathrm{pH}=2{,}1487+\log_{10}\frac{1{,}50}{2{,}00}=2{,}1487+\log_{10}(0{,}75).
Calcule \log_{10}(0{,}75):
\log_{10}(0{,}75)\approx-0{,}12494.
Assim
\mathrm{pH}=2{,}1487-0{,}12494=2{,}0238\quad(\text{aprox. }2{,}024).

Passo 6

Transformando pH em concentração de hidrônio:
[\mathrm{H_3O^+}]=10^{-\mathrm{pH}}=10^{-2{,}0238}.
Para calcular rapidamente:
10^{-2{,}0238}=10^{-2}\cdot10^{-0{,}0238}=0{,}01\cdot10^{-0{,}0238}.
Usando 10^{-0{,}0238}\approx0{,}9466 (ou exponencialmente e^{-0{,}0238\ln10}),
[\mathrm{H_3O^+}]\approx0{,}01\times0{,}9466=9{,}466\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados),
[\mathrm{H_3O^+}]\approx9{,}47\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Verificação rápida usando a fórmula direta de Ka (consistência):
[\mathrm{H^+}]=\mathrm{K_{a1}}\cdot\frac{[\mathrm{H_3PO_4}]}{[\mathrm{H_2PO_4^-}]}=7{,}11\times10^{-3}\cdot\frac{2{,}00}{1{,}50}
=7{,}11\times10^{-3}\cdot1{,}3333\approx9{,}48\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
coincidindo com o valor obtido acima (diferenças pequenas por arredondamento). Nota sobre aproximações: aqui ignorei efeitos de atividade (assumindo concentrações como boas aproximações) e a contribuição das dissociações subsequentes do ácido fosfórico (essas têm constantes muito menores e, na presença deste tampão, a primeira dissociação domina o equilíbrio de [\mathrm{H^+}]) — por isso o método é apropriado.

Resposta

[ \mathrm{H_3O^+} ] = 9{,}47\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

Exercícios relacionados