Escreva expressões de balanço de massa para o sistema formado quando uma solução de NH3 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}-1 é saturada com AgBr .

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as expressões de balanço de massa para o sistema formado quando uma solução de \mathrm{NH_3} de concentração inicial 0,010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} é saturada com \mathrm{AgBr}.\n
Informações fornecidas:
  • Concentração inicial de amônia: \;C_{\mathrm{NH_3}}=0,010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.\n
  • O sólido \mathrm{AgBr} está presente em equilíbrio com a fase aquosa (ou seja, o sistema está saturado com \mathrm{AgBr}).\n
  • Em solução aquosa \mathrm{Ag^+} pode formar complexo com \mathrm{NH_3}, tipicamente \mathrm{Ag(NH_3)_2^+}.\n
    Perguntas implícitas que vou responder:
  • Quais são as equações de equilíbrio pertinentes?
  • Quais são os balanços de massa (Ag, Br, NH _3) que descrevem o sistema?
  • Como combinar essas equações para obter relações úteis para a solubilidade?

Passo 2

Identifico as reações/espécies relevantes e escrevo as expressões de equilíbrio químico (com definições das constantes):\n
Dissolução do sal:
\mathrm{AgBr(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ag^+} + \mathrm{Br^-}
Definição do produto de solubilidade:
K_{sp} = [\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Br^-}]
Complexação com amônia (complexo predominante na maioria dos problemas):
\mathrm{Ag^+} + 2\,\mathrm{NH_3} \rightleftharpoons \mathrm{Ag(NH_3)_2^+}
Constante de formação (estabilidade) do complexo:
\beta_2 \equiv K_f = \frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]}{[\mathrm{Ag^+}][\mathrm{NH_3}]^2}
Aqui eu explico rapidamente: \beta_2 (ou K_f) mede quanto o complexo \mathrm{Ag(NH_3)_2^+} é favorecido. Valores grandes de \beta_2 significam que muito do \mathrm{Ag^+} fica ligado à amônia.

Passo 3

Defino as incógnitas (concentrações em equilíbrio em fase aquosa) e o parâmetro de solubilidade:
  • Seja \;s\equiv solubilidade do \mathrm{AgBr} em mol L ^{-1}. Quando s mol L ^{-1} de \mathrm{AgBr} se dissolvem, produzem \;s de \mathrm{Ag} total em solução e \;s de \mathrm{Br^-}.\n
  • [\mathrm{Ag^+}] \equiv concentração de prata livre (não complexada) em mol L ^{-1}.\n
  • [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] \equiv concentração do complexo em mol L ^{-1}.\n
  • [\mathrm{NH_3}] \equiv concentração de amônia livre em mol L ^{-1}.\n
    Observação didática: a presença do sólido sólido garante que a solução está em equilíbrio de solubilidade, e o total de prata solubilizada (espécies aquosas contendo Ag) deve ser igual à quantidade de \mathrm{AgBr} dissolvido, que chamei de s.

Passo 4

Escrevo o balanço de massa para o bromo (Br). Raciocínio: cada mol de \mathrm{AgBr} que se dissolve fornece 1 mol de \mathrm{Br^-}, e Br ^- não forma complexos relevantes aqui. Logo:
[\mathrm{Br^-}] = s
Explicação: esta é a definição direta de solubilidade para um sal pouco solúvel que libera um ânion por fórmula.

Passo 5

Escrevo o balanço de massa para o prata (Ag). Raciocínio: todo o Ag presente em solução está em duas formas principais: prata livre \mathrm{Ag^+} e prata complexada \mathrm{Ag(NH_3)_2^+}. Como cada mol de \mathrm{AgBr} dissolvido fornece 1 mol de Ag total em solução, o total de Ag dissolvido é s. Assim:
s = [\mathrm{Ag^+}] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
Explicação: esse é o balanço de massa elemental para o elemento prata na fase aquosa.

Passo 6

Escrevo o balanço de massa para a amônia (NH _3). Raciocínio: a amônia inicial C_{\mathrm{NH_3}}=0,010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} pode permanecer livre ou ser consumida para formar o complexo. Cada mol de \mathrm{Ag(NH_3)_2^+} consome 2 mol de \mathrm{NH_3}. Assim:
C_{\mathrm{NH_3}} = [\mathrm{NH_3}] + 2\,[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
onde C_{\mathrm{NH_3}}=0,010\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}. Explicação: esta equação garante conservação do nitrogênio (ou melhor, das moléculas de NH _3) na fase aquosa.

Passo 7

Reuno as equações de equilíbrio com os balanços para que fique claro como elas se conectam. Temos o sistema de equações (cada uma já explicada):
K_{sp} = [\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Br^-}]
\beta_2 = \frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]}{[\mathrm{Ag^+}][\mathrm{NH_3}]^2}
[\mathrm{Br^-}] = s
s = [\mathrm{Ag^+}] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
C_{\mathrm{NH_3}} = [\mathrm{NH_3}] + 2\,[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
Comentário: com essas equações eu tenho todas as equações necessárias para determinar s, [\mathrm{Ag^+}], [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] e [\mathrm{NH_3}], desde que sejam conhecidos K_{sp}, \beta_2 e C_{\mathrm{NH_3}}. Não usei nenhum valor numérico de K_{sp} ou \beta_2 porque o enunciado não os forneceu.

Passo 8

Faço uma manipulação algébrica útil (versão que elimina [\mathrm{Ag^+}] e [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] em favor de s e [\mathrm{NH_3}]), para obter uma relação entre s, [\mathrm{NH_3}], K_{sp} e \beta_2:\n
a) Da equação de Ksp:
[\mathrm{Ag^+}] = \frac{K_{sp}}{[\mathrm{Br^-}]} = \frac{K_{sp}}{s}
b) Da relação do balanço de prata s = [\mathrm{Ag^+}] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] e da definição de \beta_2:
[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] = \beta_2\,[\mathrm{Ag^+}]\,[\mathrm{NH_3}]^2
Substituo [\mathrm{Ag^+}]=K_{sp}/s na expressão acima e na soma:
s = \frac{K_{sp}}{s} + \beta_2\frac{K_{sp}}{s}[\mathrm{NH_3}]^2
Factorizando:
s = \frac{K_{sp}}{s}\left(1+\beta_2[\mathrm{NH_3}]^2\right)
Multiplicando ambos os lados por s:
s^2 = K_{sp}\left(1+\beta_2[\mathrm{NH_3}]^2\right)
Esta é uma relação muito útil, mas atenção: aqui [\mathrm{NH_3}] é a concentração livre de amônia em equilíbrio, não necessariamente igual ao C_{\mathrm{NH_3}} inicial. Para fechar definitivamente o sistema precisa-se usar o balanço de amônia:
[\mathrm{NH_3}] = C_{\mathrm{NH_3}} - 2\,[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
e [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] depende de [\mathrm{NH_3}] (pela expressão com \beta_2), o que leva, em geral, a uma equação implícita (não linear) em [\mathrm{NH_3}] ou s.

Passo 9

Dou duas formas finais de apresentar o resultado, para uso prático na prova:\n
  1. Sistema completo de equações que descrevem o equilíbrio (pronto para resolver numericamente ou algebraicamente):
K_{sp} = [\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Br^-}]
\beta_2 = \frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]}{[\mathrm{Ag^+}][\mathrm{NH_3}]^2}
[\mathrm{Br^-}] = s
s = [\mathrm{Ag^+}] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
C_{\mathrm{NH_3}} = [\mathrm{NH_3}] + 2\,[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
  1. Forma aproximada que é muito útil e frequentemente usada na prova quando a amônia está em grande excesso (ou quando a complexação consome pouca fração de C_{\mathrm{NH_3}}), adotando [\mathrm{NH_3}]\approx C_{\mathrm{NH_3}}:
s \approx \sqrt{K_{sp}\left(1+\beta_2\,C_{\mathrm{NH_3}}^{2}\right)}
Explicação final e incentivo: com o sistema do item (1) você consegue, em princípio, calcular exatamente s (geralmente numericamente porque dá uma equação não-linear). A aproximação do item (2) é prática quando C_{\mathrm{NH_3}} é muito maior que a quantidade de amônia complexada; é rápida de aplicar na prova. Você consegue fazer isso — respira fundo, organiza as equações e resolve passo a passo!

Resposta

K_{sp} = [\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Br^-}]
\beta_2 = \frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]}{[\mathrm{Ag^+}][\mathrm{NH_3}]^2}
[\mathrm{Br^-}] = s
s = [\mathrm{Ag^+}] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
C_{\mathrm{NH_3}} = [\mathrm{NH_3}] + 2\,[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]
\text{(equação combinada)}\quad s^2 = K_{sp}\left(1+\beta_2[\mathrm{NH_3}]^2\right)çã
\text{(aproximação se }[\mathrm{NH_3}]\approx C_{\mathrm{NH_3}}\text{)}\quad s \approx \sqrt{K_{sp}\left(1+\beta_2\,C_{\mathrm{NH_3}}^{2}\right)}çã

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